Gaussisk vallgrav
I det komplexa planet, är det möjligt att "vandra till oändligheten" i de Gaussiska heltal genom att använda Gauss primtal som trappsteg och ta steg med begränsad längd?
I talteorin frågar det Gaussiska vallgravsproblemet om det är möjligt att hitta en oändlig sekvens av distinkta Gaussiska primtal så att skillnaden mellan på varandra följande tal i sekvensen är begränsad. Mer färgstarkt, om man föreställer sig de Gaussiska primtalen som trappsteg i ett hav av komplexa tal, är frågan om man kan gå från ursprunget till oändligheten med steg av begränsad storlek, utan att bli blöt. Problemet ställdes först 1962 av Basil Gordon (även om det ibland felaktigt har tillskrivits Paul Erdős ) och det förblir olöst.
Med de vanliga primtalen är en sådan sekvens omöjlig: primtalssatsen antyder att det finns godtyckligt stora luckor i primtalssekvensen, och det finns också ett elementärt direkt bevis: för alla n , n − 1 på varandra följande tal n ! + 2, n ! + 3, ..., n ! + n är alla sammansatta.
Problemet med att hitta en väg mellan två gaussiska primtal som minimerar den maximala hoppstorleken är ett exempel på minimax-vägproblemet, och hoppstorleken för en optimal bana är lika med bredden på den bredaste vallgraven mellan de två primtal, där en vallgrav kan definieras av en uppdelning av primtal i två delmängder och dess bredd är avståndet mellan det närmaste paret som har ett element i varje delmängd. Sålunda kan det Gaussiska vallgravsproblemet formuleras i en annan men likvärdig form: finns det en ändlig gräns på vallgravarnas bredd som har ändligt många primtal på sidan av ursprunget?
Beräkningssökningar har visat att ursprunget skiljs från oändligheten av en vallgrav med bredd 6. Det är känt att det för varje positivt tal k existerar gaussiska primtal vars närmaste granne är på avståndet k eller större. Faktum är att dessa siffror kan vara begränsade till att vara på den verkliga axeln. Till exempel är numret 20785207 omgivet av en vallgrav med bredd 17. Det finns alltså definitivt vallgravar med godtyckligt stor bredd, men dessa vallgravar skiljer inte nödvändigtvis ursprunget från oändligheten.
Vidare läsning
- Guy, Richard K. (2004), Olösta problem i talteorin (3:e uppl.), Springer-Verlag , s. 55–57, ISBN 978-0-387-20860-2 , Zbl 1058.11001