Gauss-Hermite kvadratur

Vikter mot x _i för fyra val av n

I numerisk analys är Gauss-Hermite kvadratur en form av Gaussisk kvadratur för att approximera värdet av integraler av följande slag:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)\,dx.$

I detta fall

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x ^{2}}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

där n är antalet använda provpunkter. x _i är rötterna till fysikernas version av hermitpolynomet H _n ( x ) ( i = 1,2,..., n ) , och de tillhörande vikterna w _i ges av

$w_{i}={\frac {2^{n-1}n!{\sqrt {\pi }}}{n^{2}[H_{n-1}(x_{i})] ^{2}}}.$

Exempel med ändring av variabel

Betrakta en funktion h(y) , där variabeln y är normalfördelad : $y\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Förväntningen på h motsvarar följande integral :

$E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {(y-\mu )^{ 2}}{2\sigma ^{2}}}\right)h(y)dy$

Eftersom detta inte exakt motsvarar hermitpolynomet måste vi ändra variabler:

$x={\frac {y-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\Leftrightarrow y={\sqrt {2 }}\sigma x+\mu$

Tillsammans med integrationen genom substitution får vi:

$E[h(y)]=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\exp(-x^{2})h({\sqrt {2}}\sigma x+\mu )dx$

leder till:

$E[h(y)]\approx {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\summa _{i=1}^{n}w_{i}h({\sqrt {2}}\sigma x_{i}+\mu )$

•    Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., red. (2010), "Quadrature: Gauss–Hermite Formula" , NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248
•   Shao, TS; Chen, TC; Frank, RM (1964). "Tabell över nollor och gaussiska vikter för vissa associerade Laguerre-polynom och de relaterade generaliserade hermitpolynomen" . Matematik. Comp . 18 (88): 598–616. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . MR 0166397 .
•   Steen, NM; Byrne, GD; Gelbard, EM (1969). "Gaussiska kvadraturer för integralerna $\textstyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}f(x)dx$ och $\textstyle \int _{0}^{b}e^{-x^{2}}f(x)dx$ " . Matematik. Comp . 23 (107): 661–671. doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247744-3 . MR 0247744 .
• Shizgal, B. (1981). "En Gaussisk kvadraturprocedur för användning i lösningen av Boltzmann-ekvationen och relaterade problem". J. Comput. Phys . 41 : 309-328. doi : 10.1016/0021-9991(81)90099-1 .

externa länkar

• För tabeller över Gauss-Hermite abscissae och vikter upp till ordning n = 32 se http://www.efunda.com/math/num_integration/findgausshermite.cfm .
• Generaliserad Gauss-Hermite quadrature , fri programvara i C++, Fortran och Matlab