Gauss–Laguerre kvadratur

I numerisk analys är Gauss–Laguerre-kvadratur (uppkallad efter Carl Friedrich Gauss och Edmond Laguerre ) en förlängning av den Gaussiska kvadraturmetoden för att approximera värdet av integraler av följande slag:

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx.$

I detta fall

$\int _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x) \,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i})$

där x _i är den i -te roten av Laguerrepolynomet L _n ( x ) och vikten w _i ges av

$w_{i}={\frac {x_{i}}{\left(n+1\right)^{2}\left[L_{n+1}\left(x_{i}\right) \right]^{2}}}.$

Följande Python-kod med SymPy -biblioteket tillåter beräkning av värdena för $x_{i}$ och $w_{i}$ till 20 siffrors precision:

   

 
      
       
          
                     
      

 från  sympy  import  *  def  lag_weights_roots  (  n  ):  x  =  Symbol  (  "x"  )  rötter  =  Poly  (  laguerre  (  n  ,  x  ))  .  all_roots  ()  x_i  =  [  rt  .  evalf  (  20  )  för  rt  i  rötter  ]  w_i  =  [(  rt  /  ((  n  +  1  )  *  laguerre  (  n  +  1  ,  rt  ))  **  2  )  .  evalf  (  20  )  för  rt  in  roots  ]  return  x_i  ,  w_i  print  (  lag_weights_roots  (  5  )) 

För mer allmänna funktioner

För att integrera funktionen $f$ tillämpar vi följande transformation

$\int _{0}^{\infty }f( x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }g(x )e^{-x}\,dx$

där $g\left(x\right):=e^{x}f\left(x\right)$ . För den sista integralen använder man sedan Gauss-Laguerre kvadratur. Observera att även om detta tillvägagångssätt fungerar ur ett analytiskt perspektiv, är det inte alltid numeriskt stabilt.

Generaliserad Gauss–Laguerre kvadratur

Mer generellt kan man också överväga integrander som har en känd $x^{\alpha }$ potenslagssingularitet vid x =0, för något reellt tal $\alpha >-1$ , vilket leder till integraler av formen:

$\int _{0}^{+\infty }x^{\alpha }e^{-x}f(x)\,dx.$

I det här fallet ges vikterna i termer av de generaliserade Laguerre-polynomen :

$w_{i}={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)x_{i}}{n! (n+1)^{2}[L_{n+1}^{(\alpha )}(x_{i})]^{2}}}\,,$

där $x_{i}$ är rötterna till $L_{n}^{(\alpha )}$ .

Detta gör att man effektivt kan utvärdera sådana integraler för polynom eller jämn f ( x ) även när α inte är ett heltal.

Vidare läsning

• Salzer, HE; Zucker, R. (1949). "Tabell över nollor och viktfaktorer för de första femton Laguerre-polynomen" . Bulletin från American Mathematical Society . 55 (10): 1004–1012. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09327-8 .
• Concus, P.; Cassatt, D.; Jaehnig, G.; Melby, E. (1963). "Tabell för utvärdering av $\int _{0}^{\infty }x^{\beta }\exp(-x)f( x)\,dx$ av Gauss-Laguerre kvadratur" . Beräkningsmatematik . 17 : 245–256. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0158534-9 .
•    Shao, TS; Chen, TC; Frank, RM (1964). "Tabell över nollor och Gaussiska vikter för vissa associerade Laguerre-polynom och de relaterade hermitpolynomen" . Beräkningsmatematik . 18 (88): 598–616. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0166397-1 . JSTOR 2002946 . MR 0166397 .
• Ehrich, S. (2002). "Om stratifierade förlängningar av Gauss-Laguerre och Gauss-Hermite kvadraturformler" . Journal of Computational and Applied Mathematics . 140 (1–2): 291–299. doi : 10.1016/S0377-0427(01)00407-1 .

externa länkar

• Matlab rutin för Gauss–Laguerre kvadratur
• Generaliserad Gauss–Laguerre quadrature , fri programvara i Matlab, C++ och Fortran.