Gaffelförlängning

I modellteorin är en gaffelförlängning av en typ en förlängning av den typen som inte är fri ^{[ klarera ]} medan en icke-gaffelförlängning är en förlängning som är så fri som möjligt. Detta kan användas för att utvidga begreppen linjärt eller algebraiskt oberoende till stabila teorier . Dessa begrepp introducerades av S. Shelah .

Definitioner

Antag att A och B är modeller av någon komplett ω-stabil teori T . Om p är en typ av A och q är en typ av B som innehåller p , så kallas q en gaffelförlängning av p om dess Morley-rankning är mindre, och en nonforking-förlängning om den har samma Morley-rang.

Axiom

Låt T vara en stabil komplett teori. Den icke-gaffelfria relationen ≤ för typer över T är den unika relationen som uppfyller följande axiom:

Om p ≤ q så p ⊂ q . Om f är en elementär karta så är p ≤ q om och endast om fp ≤ fq
Om p ⊂ q ⊂ r så p ≤ r om och endast om p ≤ q och q ≤ r
Om p är en typ av A och A ⊂ B så finns det någon typ q av B med p ≤ q .
₀₀ Det finns en kardinal κ så att om p är en typ av A så finns det en delmängd A av A med kardinalitet mindre än κ så att ( p | A ) ≤ p , där | står för begränsning.
För varje p finns det en kardinal λ så att det som mest finns λ icke-motsägelsefulla typer q med p ≤ q .

Harnik, Victor; Harrington, Leo (1984), "Fundamentals of forking", Ann. Ren appl. Logic , 26 (3): 245–286, doi : 10.1016/0168-0072(84)90005-8 , MR 0747686
Lascar, Daniel; Poizat, Bruno (1979), "An Introduction to Forking", The Journal of Symbolic Logic , Association for Symbolic Logic, 44 (3): 330–350, doi : 10.2307/2273127 , JSTOR 2273127
Makkai, M. (1984), "A survey of basic stabilitetsteori, med särskild tonvikt på ortogonalitet och reguljära typer", Israel Journal of Mathematics , 49 ( 1–3): 181–238, doi : 10.1007/BF02760649 , S2CID 1265
Marker, David (2002), Model Theory: An Introduction , Graduate Texts in Mathematics , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98760-6
Ng, Siu-Ah (2001) [1994], "Forking" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
Shelah, Saharon (1990) [1978], Classification theory and the number of nonisomorphic models , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (2nd ed.), Elsevier, ISBN 978-0-444-70260-9