Friis formler för buller

Ej att förväxla med Friis transmissionsekvation .

Friis formel eller Friis formel (ibland Friis formel ), uppkallad efter den dansk-amerikanske elektroingenjören Harald T. Friis , är en av två formler som används inom telekommunikationsteknik för att beräkna signal-brusförhållandet för en flerstegsförstärkare . Den ena relaterar till bullerfaktorn medan den andra relaterar till bullertemperaturen .

Friis-formeln för bullerfaktor

Friis formel används för att beräkna den totala brusfaktorn för en kaskad av steg, var och en med sin egen brusfaktor och effektförstärkning (förutsatt att impedanserna matchas i varje steg). Den totala bullerfaktorn kan sedan användas för att beräkna det totala bullertalet . Den totala bullerfaktorn anges som

${\ displaystyle F_{\text{total}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1} G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_ {1}G_{2}\cdots G_{n-1}}}}$

där $\displaystyle F_{i}}$ och $G_{i}$ är brusfaktorn respektive tillgänglig effektförstärkning för det i -te steget, och n är antalet steg Båda magnituderna uttrycks som förhållanden, inte i decibel.

Konsekvenser

En viktig konsekvens av denna formel är att den totala brussiffran för en radiomottagare i första hand fastställs av brussiffran för dess första förstärkningssteg. Efterföljande steg har en minskande effekt på signal-brusförhållandet . Av denna anledning kallas förstastegsförstärkaren i en mottagare ofta för lågbrusförstärkaren ( LNA) . Mottagarens totala brus-"faktor" är då

$F_{\mathrm {receiver} }=F_{\mathrm {LNA} }+{\frac {F_{\mathrm {rest} }-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}$

där $F_{\mathrm {rest} }$ är den totala brusfaktorn för de efterföljande stegen. Enligt ekvationen domineras den totala brusfaktorn, ${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }} ,$ av brusfaktorn för LNA, $F_ {\mathrm {LNA} }$ , om förstärkningen är tillräckligt hög. Det resulterande brustalet uttryckt i dB är:

$\mathrm {NF} _{\mathrm {receiver} }=10\log(F_{\mathrm {mottagare} })$

Härledning

För en härledning av Friis formel för fallet med tre kaskadkopplade förstärkare ( ${\displaystyle n=3} )$ betrakta bilden nedan.

En källa matar ut en signal med effekt $S_{i}$ och brus av effekt $N_{i}$ . Därför är SNR vid mottagarkedjans ingång $\displaystyle {\text{SNR}}_{i}=S_{i}/N_{i}$ . Signalen för effekten $\displaystyle S_{i}}$ förstärks av alla tre förstärkarna. Således är signaleffekten vid utgången av den tredje förstärkaren ${\displaystyle S_{o}=S_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_$ . Bruseffekten vid utgången av förstärkarkedjan består av fyra delar:

• Källans förstärkta brus ( $N_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}$ )
• Utgångsljudet från den första förstärkaren $N_{a1}$ förstärkt av den andra och tredje förstärkaren ( $N_{a1}\cdot G_{2}G_{ 3}$ )
• Det utgående bruset från den andra förstärkaren $\displaystyle N_{a2}}$$N_{a2}\cdot G_{3}$ förstärkt av den tredje förstärkaren ( )
• Utgångsljudet från den tredje förstärkaren $N_{a3}$

Därför är den totala bruseffekten vid utgången av förstärkarkedjan lika

$N_{o}=N_{i}G_{1}G_{2}G_ {3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}$

och SNR vid utgången av förstärkarkedjan är lika med

${\text{SNR}}_{o }={\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_ {3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}$ .

Den totala brusfaktorn kan nu beräknas som kvot av ingångs- och utgångs-SNR:

$F_{\text{totalt}}={\frac {{\text{SNR} }_{i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{ 1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3} +N_{a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1} G_{2}}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}$

Med hjälp av definitionerna av förstärkarnas brusfaktorer får vi slutresultatet:

$F_{\text{total}}=\underbrace {1+{\frac {N_{a1} }{N_{i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{ ={\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}} } _{={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}} }+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}$ .

Allmän härledning för en kaskad av $n$ förstärkare:

Det totala brustalet anges som förhållandet mellan signal-brusförhållandet vid kaskadingången $\mathrm {SNR_{i}} ={\frac {S_{\mathrm {i} }}{N_{\mathrm {i} }}}$ till signal-brusförhållandet vid kaskadutgången $\mathrm {SNR_{o}$ som

$F_{\mathrm {total} }={\frac {\mathrm {SNR_{i}} }{ \mathrm {SNR_{o}} }}={\frac {S_{\mathrm {i} }}{S_{\mathrm {o} }}}{\frac {N_{\mathrm {o} }}{N_ {\mathrm {i} }}}$ .

Den totala ineffekten för $k$ -:e förstärkaren i kaskaden (brus och signal) är $S_{k-1}+N_{k-1}$ . Den förstärks enligt förstärkarens effektförstärkning $G_{k}$ . Dessutom lägger förstärkaren till brus med effekt $k}}$ . Sålunda är uteffekten från ${\displaystyle k} -$$G_{k}\left(S_{k-1} +N_{k-1}\höger)+N_{\mathrm {a} ,k}$ e förstärkaren . För hela kaskaden får man den totala uteffekten

$\displaystyle S_{\ mathrm {o} }+N_{\mathrm {o} }=\left(\left(\left(\left(S_{\mathrm {i}}+N_{\mathrm {i}}\right)G_{1 }+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a} ,3}\right )G_{4}+\dots }$

Utsignaleffekten skrivs alltså om som

$S_{\mathrm {o} }=S_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}$

medan den utgående bruseffekten kan skrivas som

$N_{\mathrm {o} }= N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\summa _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\ prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}$

Att ersätta dessa resultat med det totala bullertalet leder till

$F_{\mathrm {total} }={\frac { N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\summa _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\ prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{ n}G_{k}}}=1+\summa _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^ {n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{n}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} , n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\summa _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a } ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}$

$= 1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,1}}{N_{\mathrm {i} }G_{1}}}+\summa _{k=2}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a } ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}$

Använd nu $F_{k}=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} } G_{k}}}$ som brustalet för den individuella $k$ -te förstärkaren, får man

$F_{\ mathrm {total} }=F_{1}+\summa _{k=2}^{n-1}{\frac {F_{k}-1}{\prod _{l=1}^{k-1 }G_{l}}}+{\frac {F_{n}-1}{\prod _{k=1}^{n-1}G_{k}}}$

$= F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\dots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\dots G_ {n-1}}}$

Friis-formeln för bullertemperatur

Friis formel kan uttryckas ekvivalent i termer av bullertemperatur :

$T_{\text{eq}}=T_{1}+{\frac {T_{2}}{G_{1} }}+{\frac {T_{3}}{G_{1}G_{2}}}+\cdots$

Publicerade referenser

• JD Kraus, Radio Astronomy , McGraw-Hill, 1966.

Referenser online

• RF Cafe [1] Kaskadbrusfigur.
• Microwave Encyclopedia [2] Arkiverad 2013-05-17 vid Wayback Machine Cascade-analysen.
• Friis biografi på IEEE [3]