Fluxbegränsare

Fluxbegränsare används i scheman med hög upplösning - numeriska scheman som används för att lösa problem inom vetenskap och teknik, särskilt vätskedynamik , som beskrivs av partiella differentialekvationer (PDE). De används i scheman med hög upplösning, såsom MUSCL-schemat , för att undvika de falska svängningarna (vickningar) som annars skulle uppstå med rumsliga diskretiseringsscheman av hög ordning på grund av stötar, diskontinuiteter eller skarpa förändringar i lösningsdomänen. Användning av flödesbegränsare, tillsammans med ett lämpligt högupplöst schema, gör att lösningarnas totala variation minskar (TVD).

Observera att flödesbegränsare också kallas lutningsbegränsare eftersom de båda har samma matematiska form, och båda har effekten att begränsa lösningsgradienten nära stötar eller diskontinuiteter. I allmänhet används termen flödesbegränsare när begränsaren verkar på systemflöden, och lutningsbegränsaren används när begränsaren verkar på systemtillstånd ( som tryck, hastighet etc.).

Hur de fungerar

Huvudtanken bakom konstruktionen av flödesbegränsande system är att begränsa de rumsliga derivatorna till realistiska värden – för vetenskapliga och tekniska problem innebär detta vanligtvis fysiskt realiserbara och meningsfulla värden. De används i högupplösta system för att lösa problem som beskrivs av PDE:er och träder bara i funktion när skarpa vågfronter finns. För jämnt föränderliga vågor fungerar inte flödesbegränsarna och de rumsliga derivatorna kan representeras av approximationer av högre ordning utan att introducera falska oscillationer. Betrakta 1D semi-diskreta schemat nedan,

${\frac {du_{i}}{dt}}+{\ frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[F\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}\right)-F\left(u_{i-{\frac { 1}{2}}}\right)\right]=0,$

där, $F\left(u_{i+{\frac {1}{2}}}\right)\$ och $F\ left(u_{i-{\frac {1}{2}}}\right)\$ representerar kantflöden för den i:te cellen. Om dessa kantflöden kan representeras av låg och hög upplösning, kan en flödesbegränsare växla mellan dessa scheman beroende på gradienterna nära den specifika cellen, enligt följande,

$F\left( u_{i+{\frac {1}{2}}}\right)=f_{i+{\frac {1}{2}}}^{låg}-\phi \left(r_{i}\right)\ vänster(f_{i+{\frac {1}{2}}}^{låg}-f_{i+{\frac {1}{2}}}^{high}\right)$ ,

$F\left(u_{i- {\frac {1}{2}}}\right)=f_{i-{\frac {1}{2}}}^{låg}-\phi \left(r_{i-1}\right)\ vänster(f_{i-{\frac {1}{2}}}^{låg}-f_{i-{\frac {1}{2}}}^{high}\right)$ ,

var

$f^{low}=\$ lågupplöst flöde,

$f^{high}=\$ högupplöst flöde,

$\ phi \ (r)=\$ flödesbegränsarfunktion,

och $r\$ representerar förhållandet mellan successiva gradienter på lösningsnätet, dvs.

$r_{i}={\frac {u_{i}-u_{i-1}}{u_{i+1}-u_ {i}}}$ .

Begränsarfunktionen är begränsad till att vara större än eller lika med noll, dvs $\phi \ (r)\geq 0$ . Därför, när begränsaren är lika med noll (skarp lutning, motsatta sluttningar eller noll gradient), representeras flödet av ett schema med låg upplösning . På liknande sätt, när begränsaren är lika med 1 (jämn lösning), representeras den av ett högupplöst schema . De olika begränsarna har olika kopplingsegenskaper och väljs enligt det specifika problemet och lösningsschemat. Ingen speciell limiter har visat sig fungera bra för alla problem, och ett särskilt val görs vanligtvis på basis av försök och fel.

Limiterfunktioner

Följande är vanliga former av flödes-/lutningsbegränsarfunktion, $\phi \ (r)$ :

CHARM [inte 2nd order TVD] (Zhou, 1995)

$\phi _{cm}( r)=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {r\left(3r+1\right)}{\left(r+1\right)^{2}}},\quad r>0,\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{cm}(r)=3\\0\quad \quad \,,\quad r\leq 0\end{array}}\ höger.$

HCUS [inte 2nd order TVD] (Waterson & Deconinck, 1995)

$\phi _{hc}(r)={\frac {1.5\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r +2\right)}};\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{hc}(r)=3$ .

HQUICK [inte 2nd order TVD] (Waterson & Deconinck, 1995)

$\phi _{hq}(r)={\frac {2\left(r+\left|r\right|\right)}{\left(r +3\right)}};\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{hq}(r)=4$ .

Koren (Koren, 1993) – tredje ordningens noggrannhet för tillräckligt smidiga data

$\phi _{kn}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\min \left({\dfrac {(1) +2r)}{3}},2\right)\right)\right];\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{kn}(r)=2$ .

minmod – symmetrisk ( Roe , 1986)

$\phi _{mm}(r)=\max \left[0,\min \left(1,r\right)\right];\quad \ lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{mm}(r)=1$ .

monotoniserad central (MC) – symmetrisk (van Leer, 1977)

$\phi _{mc}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,0.5(1+r),2\right) \right];\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{mc}(r)=2$ .

Osher (Chakravarthy och Osher , 1983)

$\phi _{os}(r)=\max \left[0,\min \left(r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{os}(r)=\beta$ .

ospre – symmetrisk (Waterson & Deconinck, 1995)

$\phi _{op}(r)={\frac {1,5\left(r^{2}+r\right)}{\left(r^ {2}+r+1\right)}};\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{op}(r)=1.5$ .

smart [inte 2nd order TVD] (Gaskell & Lau, 1988)

$\phi _{sm}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right), 4\right)\right];\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{sm}(r)=4$ .

superbee – symmetrisk (Roe, 1986)

$\phi _{sb}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,1\right),\min \left(r ,2\right)\right];\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{sb}(r)=2$ .

Sweby – symmetrisk (Sweby, 1984)

$\phi _{sw}(r)=\max \left[0,\min \left(\beta r,1\right),\min \left (r,\beta \right)\right],\quad \left(1\leq \beta \leq 2\right);\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{sw}(r) =\beta$ .

UMIST – symmetrisk (Lien & Leschziner, 1994)

$\phi _{um}(r)=\max \left[0,\min \left(2r,\left(0.25+0.75r\right), \left(0.75+0.25r\right),2\right)\right];\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{um}(r)=2$ .

van Albada 1 – symmetrisk (van Albada, et al., 1982)

$\phi _{va1}(r)={\frac {r^{2}+r}{r^{2}+1}};\ quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{va1}(r)=1$ .

van Albada 2 – alternativ form [inte 2:a ordningens TVD] som används på system med hög rumslig ordning (Kermani, 2003)

$\phi _{va2}(r)={\frac {2r}{r^{2}+1}};\quad \lim _{r\ högerpil \infty }\phi _{va2}(r)=0$ .

van Leer – symmetrisk ( van Leer , 1974)

$\phi _{vl}(r)={\frac {r+\left|r\right|}{1+\left|r\right|}} ;\quad \lim _{r\rightarrow \infty }\phi _{vl}(r)=2$ .

Alla ovanstående begränsare som anges som symmetriska , uppvisar följande symmetriegenskap,

${\frac {\phi \left(r\right)}{r}}=\phi \left({\frac {1}{r}}\right )$ .

Detta är en önskvärd egenskap eftersom den säkerställer att de begränsande åtgärderna för lutningar framåt och bakåt fungerar på samma sätt.

Tillåtet begränsande område för andra ordningens TVD-system.

Såvida inte motsatsen anges är ovanstående begränsarfunktioner andra ordningens TVD . Detta innebär att de är utformade så att de passerar genom en viss del av lösningen, känd som TVD-regionen, för att garantera stabiliteten i systemet. Andra ordningens TVD-begränsare uppfyller åtminstone följande kriterier:

• $r\leq \phi (r)\leq 2r,\left(0\leq r\leq 1\right)\$ ,
• $1\leq \phi (r)\leq r,\left(1\leq r\leq 2\right)\$ ,
• $1\leq \phi (r)\leq 2,\left(r>2\right)\$ ,
• $\phi (1)=1\$ ,

Det tillåtna begränsarområdet för andra ordningens TVD-scheman visas i Sweby-diagrammet mittemot (Sweby, 1984), och diagram som visar begränsarfunktioner överlagrade på TVD-regionen visas nedan. I den här bilden har plotter för Osher- och Sweby-begränsarna genererats med $\beta =1,5$ .

Begränsningsfunktioner överlagrade på andra ordningens TVD-region.

Generaliserad minmod limiter

En ytterligare begränsare som har en intressant form är van-Leers enparameterfamilj av minmod-begränsare (van Leer, 1979; Harten och Osher, 1987; Kurganov och Tadmor, 2000). Den definieras enligt följande

$\phi _{mg}(u,\theta )=\max \left(0,\min \left(\theta r,{\frac {1+r}{2}},\theta \right) \right),\quad \theta \in \left[1,2\right].$

Notera: $\phi _{mg}\$ är mest försvinnande för $\theta =1,\$ när den reduceras till $\phi _{mm },\$ och är minst dissipativ för $\theta =2\$ .

Se även

• Godunovs teorem
• System med hög upplösning
• MUSCL-schema
• Sergej K. Godunov
• Total variation minskar

Anteckningar

• Chakravarthy, SR; Osher, S. (1983), "Högupplösningstillämpningar av Osher uppvindsschemat för Eulerekvationerna", Proc. AIAA 6th Computational Fluid Dynamics Conference , s. 363–373, AIAA Paper 83-1943, arkiverad från originalet 2011-05-17 , hämtad 2008-03-31
• Gaskell, PH; Lau, AKC (1988), "Krökningskompenserad konvektiv transport: SMART, en ny begränsningsbevarande transportalgoritm", Int. J. Num. Meth. Fluids , 8 (6): 617–641, Bibcode : 1988IJNMF...8..617G , doi : 10.1002/fld.1650080602
•   Harten, A.; Osher, S. (1987), "Uniformly high-order accurate nonoscillatory schemes. I" , SIAM J. Numer. Anal. , 24 (2): 279–309, Bibcode : 1987SJNA...24..279H , doi : 10.1137/0724022 , S2CID 15957238 , arkiverad från originalet den 23 september 2017
• Hirsch, C. (1990), Numerisk beräkning av interna och externa flöden. Volym 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows, Wiley
• Kermani, MJ; Gerber, AG; Stockie, JM (2003), "Thermodynamically Based Moisture Prediction Using Roe's Scheme", 4th Conference of Iranian AeroSpace Society , Amir Kabir University of Technology, Teheran, Iran, 27–29 januari { { citation }} : CS1 underhåll: plats ( länk )
•   Koren, B. (1993), "En robust uppvindsdiskretiseringsmetod för advektion, diffusion och källtermer", i Vreugdenhil, CB; Koren, B. (red.), Numeriska metoder för advektion–diffusionsproblem , Braunschweig: Vieweg, sid. 117, ISBN 3-528-07645-3
• Kurganov, A.; Tadmor, E. (2000), Lösning av tvådimensionella Riemann-problem för gasdynamik utan Riemann-problemlösare , Rapport från Matematikavdelningen, Univ. Michigan Tillgänglig online på: CiteSeer .
• Lien, FS; Leschziner, MA (1994), "Uppströms monoton interpolation för skalär transport med tillämpning på komplexa turbulenta flöden", Int. J. Num. Meth. Fluids , 19 (6): 527–548, Bibcode : 1994IJNMF..19..527L , doi : 10.1002/fld.1650190606
• Leonard, BP; Leschziner, MA; McGuirk, J. (1978), "The QUICK algorithm: a uniformly 3rd-order finite-difference method for very convective flows", Proc. 1:a konf. om numeriska metoder i Laminar & Turbulent Flow , Swansea, sid. 807
• Roe, PL (1986), "Karakteristikbaserade scheman för Eulerekvationerna", Annu. Rev. Fluid Mech. , 18 : 337–365, Bibcode : 1986AnRFM..18..337R , doi : 10.1146/annurev.fl.18.010186.002005
• Sweby, PK (1984), "Högupplösningsscheman som använder flödesbegränsare för hyperboliska bevarandelagar", SIAM J. Numer. Anal. , 21 (5): 995–1011, Bibcode : 1984SJNA...21..995S , doi : 10.1137/0721062
• Van Albada, GD; Van Leer, B.; Roberts, WW (1982), "A comparative study of computational methods in cosmic gas dynamics", Astronomy and Astrophysics , 108 (1): 76–84, Bibcode : 1982A&A...108...76V
• Van Leer, B. (1974), "Mot det ultimata konservativa skillnadsschemat II. Monotonicitet och bevarande kombinerat i ett andra ordningens schema", J. Comput. Phys. , 14 (4): 361–370, Bibcode : 1974JCoPh..14..361V , doi : 10.1016/0021-9991(74)90019-9
• Van Leer, B. (1977), "Mot det ultimata konservativa skillnadsschemat III. Uppströmscentrerade ändliga differensscheman för idealiskt komprimerbart flöde", J. Comput. Phys. , 23 (3): 263–275, Bibcode : 1977JCoPh..23..263V , doi : 10.1016/0021-9991(77)90094-8
• Van Leer, B. (1979), "Mot det ultimata konservativa skillnadsschemat V. En andra ordningens uppföljare till Godunovs metod", J. Comput. Phys. , 32 (1): 101–136, Bibcode : 1979JCoPh..32..101V , doi : 10.1016/0021-9991(79)90145-1
• Waterson, NP; Deconinck, H. (1995), Ett enhetligt tillvägagångssätt för design och tillämpning av avgränsade konvektionsscheman av högre ordning ( VKI Preprint 1995-21)
• Zhou, G. (1995), Numeriska simuleringar av fysiska diskontinuiteter i enkel- och multifluidflöden för godtyckliga Mach-tal ( PhD Thesis), Göteborg, Sverige: Chalmers Univ. av Tech.

Vidare läsning

•   Hirsch, C. (1990), Numerical Computing of Internal and External Flows, Volym 2: Computational Methods for Inviscid and Viscous Flows , Wiley, ISBN 978-0-471-92452-4
•   Laney, Culbert B. (1998), Computational Gasdynamics , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-57069-5
•   LeVeque, Randall (1990), Numerical Methods for Conservation Laws , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag, ISBN 3-7643-2464-3
•   LeVeque, Randall (2002), Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00924-3
•   Toro, EF (1999), Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics (2:a upplagan), Springer-Verlag, ISBN 3-540-65966-8
•   Tannehill, John C.; Anderson, Dale Arden; Pletcher, Richard H. (1997), Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer (2:a upplagan), Taylor och Francis, ISBN 1-56032-046-X
•   Wesseling, Pieter (2001), Principles of Computational Fluid Dynamics , Springer-Verlag, ISBN 3-540-67853-0