Flerdimensionell spektral uppskattning

Flerdimensionell spektral uppskattning är en generalisering av spektral uppskattning , normalt formulerad för endimensionella signaler , till flerdimensionella signaler eller multivariat data , såsom vågvektorer .

Motivering

Multidimensionell spektral uppskattning har vunnit popularitet på grund av dess tillämpning inom områden som medicin, flyg, ekolod, radar, bioinformatik och geofysik. På senare tid har ett antal metoder föreslagits för att designa modeller med ändliga parametrar för att uppskatta effektspektrumet för flerdimensionella signaler. I den här artikeln kommer vi att undersöka grunderna för metoder som används för att uppskatta effektspektrumet för flerdimensionella signaler.

Ansökningar

Det finns många tillämpningar för spektral uppskattning av multi-D-signaler, såsom klassificering av signaler som lågpass, högpass, passband och stoppband. Den används också för komprimering och kodning av ljud- och videosignaler, strålbildning och riktningssökning i radar , seismisk datauppskattning och bearbetning, uppsättning av sensorer och antenner och vibrationsanalys. Inom radioastronomi används det för att synkronisera utsignalerna från en rad teleskop.

Grundläggande koncept

I ett endimensionellt fall kännetecknas en signal av en amplitud och en tidsskala. De grundläggande begreppen involverade i spektral uppskattning inkluderar autokorrelation , multi-D Fourier-transform , medelkvadratfel och entropi . När det kommer till flerdimensionella signaler finns det två huvudsakliga tillvägagångssätt: använd en filterbank eller uppskatta parametrarna för den slumpmässiga processen för att uppskatta effektspektrumet.

spektraluppskattningstekniker

Metoder

Klassisk skattningsteori

klassisk uppskattning

Det är en teknik för att uppskatta effektspektrumet för en endimensionell eller en flerdimensionell signal eftersom det inte kan beräknas exakt. Angivna är exempel på en vidavkännande stationär slumpprocess och dess andra ordningens statistik (mätningar). Uppskattningarna erhålls genom att applicera en flerdimensionell Fouriertransform av autokorrelationsfunktionen för den slumpmässiga signalen. Uppskattningen börjar med att beräkna ett periodogram som erhålls genom att kvadrera storleken på den flerdimensionella Fouriertransformen av mätningarna ri(n). De spektraluppskattningar som erhålls från periodogrammet har en stor varians i amplitud för på varandra följande periodogramprov eller i vågnummer. Detta problem löses med hjälp av tekniker som utgör den klassiska skattningsteorin. De är följande: 1.Bartlett föreslog en metod som ger ett medelvärde av spektraluppskattningarna för att beräkna effektspektrumet. Mätningarna är uppdelade i segment med jämna mellanrum i tid och ett medelvärde tas. Detta ger en bättre uppskattning. 2.Baserat på vågnumret och indexet för mottagaren/utgången kan vi partitionera segmenten. Detta ökar spektraluppskattningarna och minskar varianserna mellan på varandra följande segment. 3. Welch föreslog att vi skulle dela upp mätningarna med hjälp av datafönsterfunktioner, beräkna ett periodogram, medelvärde för dem för att få en spektral uppskattning och beräkna effektspektrumet med hjälp av Fast Fourier Transform (FFT). Detta ökar beräkningshastigheten. 4. Utjämningsfönstret hjälper oss att jämna ut skattningen genom att multiplicera periodogrammet med ett utjämningsspektrum. Bredare huvudloben av utjämningsspektrat, jämnare blir det på bekostnad av frekvensupplösning.

$P\left(K_{x} ,w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^ {-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt$

$\varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau - t\right)\right]$

$P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\summa _{l}|\summa _{n}\ x\left(n+MI\right) \ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}$ Bartletts fall

$P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\summa _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right )\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}$ Modifierat periodogram

$P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\summa _{l}|\summa _{n}\ g\left(n\right)\ x \left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}$ Welchs fall

Fördelar

Enkel metod som involverar Fourier-transformationer.

Begränsningar

1. Eftersom några av ovanstående metoder samplar sekvensen i tid, reduceras frekvensupplösningen (aliasing).
2. Antalet fall av en vidsträckt stationär slumpmässig process är färre vilket gör det svårt att beräkna uppskattningarna korrekt.

Högupplösta spektraluppskattningar

Denna metod ger en bättre uppskattning vars frekvensupplösning är högre än den klassiska skattningsteorin. I uppskattningsmetoden med hög upplösning använder vi ett variabelt vågnummerfönster som endast tillåter vissa vågnummer och undertrycker de andra. Capons arbete hjälpte oss att etablera en uppskattningsmetod genom att använda vågnummer-frekvenskomponenter. Detta resulterar i en uppskattning med högre frekvensupplösning. Det liknar maximum likelihood-metoden eftersom optimeringsverktyget som används är liknande.

Antagande

Utsignalen som erhålls från sensorerna är en vid avkänning stationär slumpmässig process med noll medelvärde.

$P_{C}\left(K_ {o}x,w_{o}\right)=E\left[|y\left(i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\summa _{\alpha =0}^{N-1}\summa _{\beta =0}^{M-1}\summa _{l=0}^{N-1}\summa _{m=0}^{M- 1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right)}}$

Fördelar

1. Högre frekvensupplösning jämfört med andra befintliga metoder.
2. Bättre frekvensuppskattning eftersom vi använder ett variabelt vågnummerfönster jämfört med en klassisk metod som använder ett fast vågnummerfönster.
3. Snabbare beräkningshastighet eftersom den använder FFT.

Separable Spectral Estimator

I denna typ av uppskattning väljer vi att den flerdimensionella signalen ska vara en separerbar funktion. På grund av denna egenskap kommer vi att kunna se Fourier-analysen som äger rum i flera dimensioner successivt. En tidsfördröjning i magnitudkvadreringsoperationen kommer att hjälpa oss att bearbeta Fourier-transformationen i varje dimension. En tidsdiskret flerdimensionell Fouriertransform appliceras längs varje dimension och i slutändan appliceras en maximal entropi-estimator och storleken kvadreras.

Fördelar

1. Fourieranalysen är flexibel eftersom signalen är separerbar.
2. Den bevarar faskomponenterna för varje dimension till skillnad från andra spektrala estimatorer.

Allpolig spektralmodellering

Denna metod är en förlängning av en 1-D-teknik som kallas autoregressiv spektral uppskattning. I autoregressiva modeller beror utvariablerna linjärt på dess egna tidigare värden. I denna modell reduceras uppskattningen av effektspektrum till att uppskatta koefficienterna från autokorrelationskoefficienterna för den slumpmässiga processen som antas vara kända för en specifik region. Effektspektrat $P_{A}(k_{x},w)$ för en slumpmässig process $r(i,n)$ ges av :

$P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)|{\frac {1}{1-A\left (k_{x},w\right)}}|^{2}$

Ovan är $P_{e}\left(k_{x},w\right)$$e(i ,n)$ för en slumpmässig process , som ges som indata till ett system med en överföringsfunktion $|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|$ för att erhålla $r(i,n)$ och $A\left(k_{x},w\right)$ är:

$A\left(k_{x },w\right)=\summa _{p=o}^{N-1}\summa _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq )$

Därför reduceras effektuppskattningen till uppskattning av koefficienter för $a\left(p,q\right)$ från autokorrelationsfunktionen $\varphi \left( l,m\right)$ av den slumpmässiga processen. Koefficienterna kan också uppskattas med användning av den linjära prediktionsformuleringen som handlar om minimering av medelkvadratfel mellan den faktiska slumpsignalen och predikterade värden för slumpsignalen.

Begränsningar

1. I 1-D har vi samma antal linjära ekvationer med samma antal okända på grund av autokorrelationsmatchningsegenskapen. Men det kanske inte är möjligt i multi-D eftersom uppsättningen av parametrar inte innehåller tillräckligt med frihetsgrader för att matcha autokorrelationskoefficienter.
2. Vi antar att arrayen av koefficienter är begränsad till ett visst område.
3. I 1-D-formulering av linjär förutsägelse har det inversa filtret minimal fasegenskap vilket bevisar att filtret är stabilt. Det är inte alltid nödvändigtvis sant i multi-D fall.
4. I 1-D-formulering är autokorrelationsmatrisen positiv definitiv men positiv definitiv förlängning kanske inte existerar i fallet med multi-D.

Maximal entropispektraluppskattning

Maximal entropispektraluppskattning.

I denna metod för spektral uppskattning försöker vi hitta den spektraluppskattning vars inversa Fouriertransform matchar de kända autokorrelationskoefficienterna. Vi maximerar entropin för spektraluppskattningen så att den matchar autokorrelationskoefficienterna. Entropi-ekvationen ges som:

$H={\frac {1}{4\pi ^{2}}} \int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw$

Effektspektrat $P\left(k,w\right)$ kan uttryckas som summan av kända autokorrelationskoefficienter och okända autokorrelationskoefficienter. Genom att justera värdena för obegränsade koefficienter kan entropin maximeras.

Den maximala entropin är av formen:

$P_{ME}={\frac {1}{\summa _{l}\ summa _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}$

λ(l,m) måste väljas så att kända autokorrelationskoefficienter matchas.

Begränsningar

1. Det har begränsat optimeringen. Det kan övervinnas genom att använda metoden med Lagrange-multiplikatorer.
2. All polspektral uppskattning är inte lösningen på maximal entropi i flerdimensionellt fall som det är i fallet med 1-D. Detta beror på att spektralmodellen med alla poler inte innehåller tillräcklig grad av frihet för att matcha de kända autokorrelationskoefficienterna.

Fördelar

Fel vid mätning eller uppskattning av de kända autokorrelationskoefficienterna kan tas med i beräkningen eftersom exakt matchning inte krävs.

Nackdel

För många beräkningar krävs.

Förbättrad Maximum Likelihood Method (IMLM)

Detta är ett relativt nytt tillvägagångssätt. Förbättrad maximal sannolikhetsmetod (IMLM) är en kombination av två MLM ( maximal likelihood ) skattare. Den förbättrade maximala sannolikheten för två 2-dimensionella arrayer A och B vid ett vågnummer k( ger information om arrayens orientering i rymden) ges av relationen:

$IMLM\left(k:A,B\right)={\ frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}$

Array B är en delmängd av A. Om det därför antas att A>B, om det finns en skillnad mellan MLM för A och MLM för B, kan en betydande del av den uppskattade spektrala energin vid frekvensen bero på effektläckage från andra frekvenser . Minskningen av MLM av A kan förbättra spektral uppskattning. Detta åstadkoms genom att multiplicera med en viktad funktion som är mindre när det finns en större skillnad mellan MLA av B och MLA av A.

$IMLM\ left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\ left(k:A\right)}}$

$IMLM\left(k:A,B\ höger)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)$

där $W_{AB}\left(k\right)$ är viktningsfunktionen och ges av uttrycket:

$W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}$

Fördelar

1. Används som ett alternativ till MLM eller MEM (Maximum Entropy Method/ Princip of Maximum Entropy )
2. IMLM har bättre upplösning än MLM och det kräver mindre antal beräkningar jämfört med MEM