Flödesdiagram (matematik)

En flödesgraf är en form av digraf associerad med en uppsättning linjära algebraiska eller differentialekvationer:

"En signalflödesgraf är ett nätverk av noder (eller punkter) sammankopplade av riktade grenar, som representerar en uppsättning linjära algebraiska ekvationer. Noderna i ett flödesdiagram används för att representera variablerna, eller parametrarna, och de anslutande grenarna representerar koefficienterna relatera dessa variabler till varandra. Flödesdiagrammet är associerat med ett antal enkla regler som gör att alla möjliga lösningar [relaterade till ekvationerna] kan erhållas."

Även om denna definition använder termerna "signalflödesgraf" och "flödesgraf" omväxlande, används termen "signalflödesgraf" oftast för att beteckna Masons signalflödesgraf, Mason är upphovsmannen till denna terminologi i sitt arbete på elektriska nät. På samma sätt använder vissa författare termen "flödesdiagram" för att strikt referera till Coates flödesdiagram . Enligt Henley & Williams:

"Nomenklaturen är långt ifrån standardiserad, och...ingen standardisering kan förväntas inom överskådlig framtid."

En beteckning "flödesgraf" som inkluderar både Mason-grafen och Coates-grafen, och en mängd andra former av sådana grafer verkar användbar och stämmer överens med Abrahams och Coverleys och Henleys och Williams tillvägagångssätt.

Ett riktat nätverk – även känt som ett flödesnätverk – är en speciell typ av flödesdiagram. Ett nätverk är en graf med reella tal associerade med var och en av dess kanter, och om grafen är en digraf blir resultatet ett riktat nätverk . En flödesgraf är mer generell än ett riktat nätverk, eftersom kanterna kan vara associerade med förstärkningar, förgreningsförstärkningar eller transmittanser , eller till och med funktioner hos Laplace-operatörerna, i vilket fall de kallas överföringsfunktioner .

Det finns ett nära samband mellan grafer och matriser och mellan digrafer och matriser. "Den algebraiska teorin om matriser kan tillämpas på grafteorin för att erhålla resultat elegant", och omvänt används grafteoretiska tillvägagångssätt baserade på flödesgrafer för att lösa linjära algebraiska ekvationer.

Härleda en flödesgraf från ekvationer

Ett exempel på en signalflödesgraf

Flödesdiagram för tre samtidiga ekvationer. Kanterna som inträffar på varje nod är färgade olika bara för att betona.

Ett exempel på en flödesgraf kopplad till några startekvationer presenteras.

Uppsättningen av ekvationer bör vara konsekvent och linjärt oberoende. Ett exempel på en sådan uppsättning är:

{\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\5&-1&-1\end{bmatrix}} {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\5\\0\end{bmatrix}}

Konsistens och oberoende av ekvationerna i mängden fastställs eftersom determinanten av koefficienter är icke-noll, så en lösning kan hittas med Cramers regel .

Med hjälp av exemplen från underavsnittet Element i signalflödesgrafer konstruerar vi grafen I figuren, i detta fall en signalflödesgraf. För att kontrollera att grafen representerar de angivna ekvationerna, gå till nod x ₁ . Titta på pilarna som kommer in till den här noden (grönfärgade för betoning) och vikterna som är fästa vid dem. Ekvationen för x ₁ uppfylls genom att likställa den med summan av noderna som är fästa vid de inkommande pilarna multiplicerat med vikterna som är fästa vid dessa pilar. På samma sätt ger de röda pilarna och deras vikter ekvationen för x ₂ och de blå pilarna för x ₃ .

Ett annat exempel är det allmänna fallet med tre samtidiga ekvationer med ospecificerade koefficienter:

{\begin{bmatrix}c_{11} &c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{ 1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{bmatrix}}

För att ställa in flödesdiagrammet omarbetas ekvationerna så att var och en identifierar en enda variabel genom att lägga till den på varje sida. Till exempel:

\left(c_{11}+1\right)x_{1}+c_{12}x_{2}+c_{13}x_{3}-y_{1}=x_{1}\ .

Genom att använda diagrammet och summera de infallande förgreningarna till x ₁ anses denna ekvation vara uppfylld.

Eftersom alla tre variablerna går in i dessa omarbetade ekvationer på ett symmetriskt sätt, bibehålls symmetrin i grafen genom att placera varje variabel i hörnet av en liksidig triangel. Att rotera siffran 120° permuterar helt enkelt indexen. Denna konstruktion kan utökas till fler variabler genom att placera noden för varje variabel i spetsen av en vanlig polygon med lika många hörn som det finns variabler.

För att vara meningsfulla är koefficienterna naturligtvis begränsade till värden så att ekvationerna är oberoende och konsekventa.

Se även

Vidare läsning

Richard A. Brualdi, Dragos Cvetkovic (2008). "Determinanter" . En kombinatorisk syn på matristeori och dess tillämpningar . Chapman & Hall/CRC. s. 63 ff . ISBN 9781420082234 . En diskussion om Coates och Mason flödesgraferna.