Feller–Tornier konstant

I matematik är Feller-Tornier-konstanten C _FT tätheten av mängden av alla positiva heltal som har ett jämnt antal distinkta primtalsfaktorer upphöjda till en potens som är större än en (bortsett från alla primtalsfaktorer som endast visas i första potensen). Den är uppkallad efter William Feller (1906–1970) och Erhard Tornier (1894–1982)

$_ start{aligned}C_{\text{FT}}&={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{2 \over p_{n}^{2}}\right)\right)\\[4pt]&={{1} \over {2}}\left(1+\prod _{n=1}^{\ infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}\left(1+{{ 1} \over {\zeta (2)}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\ höger)\right)\\[4pt]&={1 \over 2}+{{3} \over {\pi ^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }\left( 1-{{1} \over {p_{n}^{2}-1}}\right)=0,66131704946\ldots \end{aligned}}}$

(sekvens A065493 i OEIS )

Omega funktion

Big Omega-funktionen ges av

$\Omega (x)={\text{antalet primtalsfaktorer av }}x{\text{ räknat med multipliciteter}}$

Se även: Prime omega-funktion .

Iverson -fästet är

$[P]={\begin{cases}1&{\text{if }}P{\text{ är sant,}}\\0&{\text{if }}P{\text{ är falskt.} }\end{cases}}$

Med dessa beteckningar har vi

$C_{\text{FT}}=\lim _{n\to \infty }{\frac { \sum _{k=1}^{n}([\Omega (k)\equiv 0{\bmod {2}}])}{n}}$

Prime zeta-funktion

Den primära zetafunktionen P ges av

$P(s)=\summa _{p{\text{ är primtal}}}{\frac {1}{p^{s}}}.$

Feller-Tornier-konstanten tillfredsställer

$C_{\text{FT}}={1 \över 2}\left(1+\exp \left(-\summa _{n=1}^{\infty }{2^{n}P( 2n) \över n}\höger)\höger).$

Se även

• Riemann zeta funktion
• L-funktion
• Euler produkt
• Twin prime