Felanalys (matematik)

I matematik är felanalys studiet av typ och mängd av fel , eller osäkerhet, som kan finnas i lösningen av ett problem. Denna fråga är särskilt framträdande inom tillämpade områden som numerisk analys och statistik .

Felanalys i numerisk modellering

Vid numerisk simulering eller modellering av verkliga system handlar felanalys om förändringarna i modellens utdata eftersom parametrarna till modellen varierar ungefär ett medelvärde .

Till exempel, i ett system modellerat som en funktion av två variabler $z\,=\,f(x,y).$ Felanalys handlar om spridningen av de numeriska felen i $x$ och $y$ (runt medelvärden ${\bar {x}}$ och ${\bar {y}}$ ) till fel i $z$ (runt ett medelvärde ${\bar {z}}$ ) .

I numerisk analys omfattar felanalys både framåtriktad felanalys och bakåtfelanalys .

Framåt felanalys

Framåtfelsanalys innefattar analys av en funktion $z'=f'(a_{0},\,a_{1},\,\dots ,\,a_{n})$ som är en approximation (vanligtvis ett ändligt polynom) till en funktion $z\,=\,f(a_{0 },a_{1},\dots ,a_{n})$ för att bestämma gränserna för felet i approximationen; dvs att hitta $\epsilon$ så att $0\,\leq \,|zz'|\,\leq \,\epsilon .$ Utvärderingen av framåtriktade fel är önskvärd i validerade siffror .

Bakåt felanalys

Bakåtfelsanalys innefattar analys av approximationsfunktionen $z'\,=\,f'(a_{0},\,a_{1 },\,\dots ,\,a_{n}),$ för att bestämma gränserna för parametrarna $a_{i}\,=\,{\bar {a_{ i}}}\,\pm \,\epsilon _{i}$ så att resultatet $z'\,=\,z.$

Bakåtfelsanalys, vars teori utvecklades och populariserades av James H. Wilkinson , kan användas för att fastställa att en algoritm som implementerar en numerisk funktion är numeriskt stabil. Det grundläggande tillvägagångssättet är att visa att även om det beräknade resultatet, på grund av avrundningsfel, inte kommer att vara exakt korrekt, är det den exakta lösningen på ett närliggande problem med lätt störda indata. Om den störning som krävs är liten, i storleksordningen av osäkerheten i indata, så är resultaten i någon mening så exakta som data "förtjänar". Algoritmen definieras då som bakåtstabil . Stabilitet är ett mått på känsligheten för avrundningsfel för en given numerisk procedur; däremot villkorsnumret för en funktion för ett givet problem funktionens inneboende känslighet för små störningar i dess inmatning och är oberoende av implementeringen som används för att lösa problemet.

Ansökningar

Global Positioning System

Analysen av fel som beräknas med hjälp av det globala positioneringssystemet är viktig för att förstå hur GPS fungerar och för att veta vilken storleksordning fel som bör förväntas. Global Positioning System gör korrigeringar för mottagarklockfel och andra effekter men det finns fortfarande kvarvarande fel som inte korrigeras. Global Positioning System (GPS) skapades av USA:s försvarsdepartement (DOD) på 1970-talet. Det har kommit att användas i stor utsträckning för navigering både av den amerikanska militären och allmänheten.

Simulering av molekylär dynamik

I simuleringar av molekylär dynamik (MD) finns det fel på grund av otillräcklig sampling av fasutrymmet eller sällan förekommande händelser, dessa leder till det statistiska felet på grund av slumpmässiga fluktuationer i mätningarna.

För en serie av $M$ mätningar av en fluktuerande egenskap $A$ är medelvärdet:

\langle A\rangle ={\frac {1}{M}}\summa _{\mu =1}^{M}A_{\mu }.

När dessa $M mätningar är oberoende$ är variansen för medelvärdet $⟨ A ⟩ :$

\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\frac {1}{M}}\sigma ^{2}( A),

men i de flesta MD-simuleringar finns det korrelation mellan kvantitet $A$ vid olika tidpunkter, så variansen av medelvärdet $⟨ A ⟩$ kommer att underskattas eftersom det effektiva antalet oberoende mätningar faktiskt är mindre än $M$ . I sådana situationer skriver vi om variansen som:

\sigma ^{2}(\langle A\rangle )={\ frac {1}{M}}\sigma ^{2}(A)\left[1+2\summa _{\mu }\left(1-{\frac {\mu}{M}}\right)\ phi _{\mu }\right],

där $\phi _{\mu }$ är autokorrelationsfunktionen definierad av

\phi _{\mu }={\frac {\langle A_{\mu }A_{0}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}{\langle A^{2}\rangle - \langle A\rangle ^{2}}}.

Vi kan sedan använda den automatiska korrelationsfunktionen för att uppskatta felstapeln . Som tur är har vi en mycket enklare metod baserad på blockmedelvärde.

Verifiering av vetenskapliga data

Mätningar har i allmänhet en liten mängd fel, och upprepade mätningar av samma objekt kommer i allmänhet att resultera i små skillnader i avläsningar. Dessa skillnader kan analyseras och följa vissa kända matematiska och statistiska egenskaper. Skulle en uppsättning data tyckas vara för trogen hypotesen, det vill säga att mängden fel som normalt skulle vara i sådana mätningar inte visas, kan en slutsats dras att data kan ha förfalskats. Enbart felanalys räcker vanligtvis inte för att bevisa att data har förfalskats eller tillverkats, men den kan tillhandahålla de bevis som krävs för att bekräfta misstankar om tjänstefel.

Se även

externa länkar

[1] Allt om felanalys.