Feigenbaum funktion

I studiet av dynamiska system har termen Feigenbaum funktion använts för att beskriva två olika funktioner som introducerades av fysikern Mitchell Feigenbaum :

lösningen på Feigenbaum-Cvitanovićs funktionella ekvation; och
skalningsfunktionen som beskrev omslagen till atttraktorn på logistikkartan

Feigenbaum-Cvitanovićs funktionella ekvation

Denna funktionella ekvation uppstår i studiet av endimensionella kartor som, som funktion av en parameter, går igenom en periodfördubblingskaskad. Upptäckt av Mitchell Feigenbaum och Predrag Cvitanović , är ekvationen det matematiska uttrycket för universaliteten av periodfördubbling. Den specificerar en funktion g och en parameter $α$ genom relationen

g(x)=-\alpha g(g({\frac {1}{\alpha }}x))

med de ursprungliga förutsättningarna

g (0) = 1,
g ′(0) = 0, och
g "(0) < 0

För en viss form av lösning med ett kvadratiskt beroende av lösningen nära $x = 0, är α = 2,5029...$ en av Feigenbaums konstanter .

Skalningsfunktion

Feigenbaums skalningsfunktion ger en fullständig beskrivning av attraktionen för den logistiska kartan i slutet av periodfördubblingskaskaden. Attraktorn är en Cantor-uppsättning , och precis som den mellersta-tredje Cantor-uppsättningen kan den täckas av en ändlig uppsättning segment, alla större än en minimal storlek d _n . För en fast d _n bildar uppsättningen segment ett lock Δ _n av attraktionselementet. Förhållandet mellan segment från två på varandra följande omslag, Δ _n och Δ _n+1 kan arrangeras för att approximera en funktion σ , Feigenbaums skalningsfunktion.

Se även

Logistisk karta
Presentationsfunktion

Anteckningar

Bibliografi

Feigenbaum, M. (1978). "Kvantitativ universalitet för en klass av olinjära transformationer". Journal of Statistical Physics . 19 (1): 25–52. Bibcode : 1978JSP....19...25F . CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . doi : 10.1007/BF01020332 . MR 0501179 . S2CID 124498882 .
Feigenbaum, M. (1979). "De universella metriska egenskaperna hos icke-linjära transformationer". Journal of Statistical Physics . 21 (6): 669–706. Bibcode : 1979JSP....21..669F . CiteSeerX 10.1.1.418.7733 . doi : 10.1007/BF01107909 . MR 0555919 . S2CID 17956295 .
Feigenbaum, Mitchell J. (1980). "Övergången till aperiodiskt beteende i turbulenta system" . Kommunikationer i matematisk fysik . 77 (1): 65–86. Bibcode : 1980CMaPh..77...65F . doi : 10.1007/BF01205039 . S2CID 18314876 .
Epstein, H.; Lascoux, J. (1981). "Analyticitetsegenskaper hos Feigenbaum-funktionen" . Commun. Matematik. Phys . 81 (3): 437–453. Bibcode : 1981CMaPh..81..437E . doi : 10.1007/BF01209078 . S2CID 119924349 .
Feigenbaum, Mitchell J. (1983). "Universellt beteende i icke-linjära system". Physica . 7D (1–3): 16–39. Bibcode : 1983PhyD....7...16F . doi : 10.1016/0167-2789(83)90112-4 . Bound as Order in Chaos, Proceedings of the International Conference on Order and Chaos som hölls vid Center for Nolinear Studies, Los Alamos, New Mexico 87545, USA 24–28 maj 1982, red. David Campbell, Harvey Rose; North-Holland Amsterdam ISBN 0-444-86727-9 .
Lanford III, Oscar E. (1982). "Ett datorstödt bevis på Feigenbaums gissningar" . Tjur. Am. Matematik. Soc . 6 (3): 427–434. doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15008-X . MR 0648529 .
Campanino, M.; Epstein, H.; Ruelle, D. (1982). "På Feigenbaums funktionella ekvation $g\circ g(\lambda x)+\lambda g(x)=0$ " . Topologi . 21 (2): 125–129. doi : 10.1016/0040-9383(82)90001-5 . MR 0641996 .
Lanford III, Oscar E. (1984). "Ett kortare bevis på existensen av Feigenbaum fixpunkt". Commun. Matematik. Phys . 96 (4): 521–538. Bibcode : 1984CMaPh..96..521L . CiteSeerX 10.1.1.434.1465 . doi : 10.1007/BF01212533 . S2CID 121613330 .
Epstein, H. (1986). "Nya bevis på existensen av Feigenbaum-funktionerna" ( PDF) . Commun. Matematik. Phys . 106 (3): 395–426. Bibcode : 1986CMaPh.106..395E . doi : 10.1007/BF01207254 . S2CID 119901937 .
Eckmann, Jean-Pierre ; Wittwer, Peter (1987). "Ett komplett bevis på Feigenbaums gissningar". J. Stat. Phys . 46 (3/4): 455. Bibcode : 1987JSP....46..455E . doi : 10.1007/BF01013368 . MR 0883539 . S2CID 121353606 .
Stephenson, John; Wang, Yong (1991). "Relationer mellan lösningarna i Feigenbaums ekvation" . Appl. Matematik. Lett . 4 (3): 37–39. doi : 10.1016/0893-9659(91)90031-P . MR 1101871 .
Stephenson, John; Wang, Yong (1991). "Relationer mellan egenfunktioner associerade med lösningar av Feigenbaums ekvation" . Appl. Matematik. Lett . 4 (3): 53–56. doi : 10.1016/0893-9659(91)90035-T . MR 1101875 .
Briggs, Keith (1991). "En exakt beräkning av Feigenbaums konstanter" . Matematik. Comp . 57 (195): 435–439. Bibcode : 1991MaCom..57..435B . doi : 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6 . MR 1079009 .
Tsygvintsev, Alexei V.; Mestel, Ben D.; Obaldestin, Andrew H. (2002). "Fortsättning av fraktioner och lösningar av Feigenbaum-Cvitanović-ekvationen" . Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I . 334 (8): 683–688. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02330-0 .
Mathar, Richard J. (2010). "Chebyshev-serierepresentation av Feigenbaums periodfördubblingsfunktion". arXiv : 1008.4608 [ math.DS ].
Varin, VP (2011). "Spektrala egenskaper hos periodfördubblingsoperatorn" . KIAM Preprint . 9 . arXiv : 1202.4672 .
Weisstein, Eric W. "Feigenbaum-funktion" . MathWorld .