Favards sats
Inom matematiken säger Favards sats , även kallad Shohat–Favard-satsen , att en sekvens av polynom som uppfyller en lämplig 3-term recurrencerelation är en sekvens av ortogonala polynom . Satsen introducerades i teorin om ortogonala polynom av Favard ( 1935 ) och Shohat (1938) , även om i huvudsak samma sats användes av Stieltjes i teorin om fortsatta bråk många år före Favards artikel, och återupptäcktes flera gånger av andra författare. före Favards verk.
Påstående
0 Antag att y = 1, y 1 , ... är en sekvens av polynom där y n har grad n . Om detta är en sekvens av ortogonala polynom för någon positiv viktfunktion så uppfyller den en 3-terms återkommande relation. Favards teorem är ungefär en motsats till detta, och säger att om dessa polynom uppfyller en 3-term recurrencerelation av formen
för vissa tal c n och d n bildar polynomen y n en ortogonal sekvens för någon linjär funktionell Λ med Λ(1)=1; med andra ord Λ( y m y n ) = 0 om m ≠ n .
Den linjära funktionella Λ är unik och ges av Λ(1) = 1, Λ( y n ) = 0 om n > 0.
Det funktionella Λ uppfyller Λ( y
2 n ) = d n Λ( y
2 n –1 ), vilket innebär att Λ är positivt definitivt om (och endast om) talen c n är reella och talen d n är positiva.
Se även
- Chihara, Theodore Seio (1978), An introduction to ortogonal polynomials , Mathematics and its Applications, vol. 13, New York: Gordon and Breach Science Publishers, ISBN 978-0-677-04150-6 , MR 0481884 Reprinted by Dover 2011, ISBN 978-0-486-47929-3
- Favard, J. (1935), "Sur les polynomes de Tchebicheff." CR Acad . Sci. Paris (på franska), 200 : 2052–2053, JFM 61.0288.01
- Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002), Analytisk teori om polynom , London Mathematical Society Monographs. Ny serie, vol. 26, Oxford: Oxford University Press , s. 15–16, ISBN 0-19-853493-0 , Zbl 1072.30006
- Subbotin, Yu. N. (2001) [1994], "Favard theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Shohat, J. (1938), "Sur les polynômes orthogonaux généralises.", CR Acad. Sci. Paris (på franska), 207 : 556–558, Zbl 0019.40503