Extra partikelfilter

Det extra partikelfiltret är en partikelfiltreringsalgoritm som introducerades av Pitt och Shephard 1999 för att förbättra vissa brister i algoritmen för sekventiell betydelse omsampling (SIR) när det gäller tailed observation densites.

Motivering

Partikelfilter approximerar kontinuerlig slumpvariabel med $M$ -partiklar med diskret sannolikhetsmassa $\pi _{t}$ , säg $1/M$ för enhetlig fördelning. De slumpmässigt samplade partiklarna kan användas för att approximera sannolikhetstäthetsfunktionen för den kontinuerliga slumpvariabeln om värdet $M\rightarrow \infty$ .

Den empiriska förutsägelsedensiteten produceras som den viktade summeringen av dessa partiklar:

${\widehat {f}}(\alpha _{t+1} |Y_{t})=\summa _{j=1}^{M}f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j }$ , och vi kan se det som den "tidigare" densiteten. Observera att partiklarna antas ha samma vikt $\pi _{t}^{j}={\frac {1}{M}}$ .

Kombinera den tidigare tätheten ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t})$ och sannolikheten $f(y_{t+1}|\alpha _{t+1})$ , den empiriska filtreringstätheten kan produceras som:

${\displaystyle {\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_ {t+1})={\frac {f(y_{t+1}|\alpha _{t+1}){\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t} )}{f(y_{t+1}|Y_{t})}}\propto f(y_{t+1}|\alpha _{t+1})\summa _{j=1}^{M }f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j}} ,$ där $f(y_{t+1}|Y_{t})=\int f(y_{t+1}| \alpha _{t+1})dF(\alpha _{t+1}|Y_{t})$ .

Å andra sidan är den verkliga filtreringstätheten som vi vill uppskatta

$f( \alpha _{t+1}|Y_{t+1})={\frac {f(y_{t+1}|\alpha _{t+1})f(\alpha _{t+1}| Y_{t})}{f(y_{t+1}|Y_{t})}}$ .

Den tidigare tätheten ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t})$ kan användas för att approximera den sanna filtreringstätheten $f(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ :

• Partikelfiltren drar $R$ -prover från den tidigare densiteten ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t} )$ . Varje urval dras med lika stor sannolikhet.
• Tilldela varje prov vikterna $\pi _{j}={\frac {\omega _{j}} {\sum _{i=1}^{R}\omega _{i}}},\omega _{j}=f(y|\alpha ^{j})$ . Vikterna representerar sannolikhetsfunktionen $f(y_{t+1}|\alpha _{t+1})$ .
• Om talet $R\rightarrow \infty$ , så konvergerar samplen till den önskade sanna filtreringstätheten.
• R $R$ -partiklarna samplas om till $}$ -partiklar med vikten $\pi _{j}$ .

Svagheten hos partikelfiltren inkluderar:

• Om vikten { $\omega _{j}}$ har en stor varians, måste sampelmängden $R$ vara tillräckligt stor för att samplen ska approximera den empiriska filtreringstätheten. Med andra ord, medan vikten är brett fördelad, kommer SIR-metoden att vara oprecis och anpassningen är svår.

Därför föreslås det extra partikelfiltret för att lösa detta problem.

Extra partikelfilter

Hjälpvariabel

Jämför med den empiriska filtreringstätheten som har ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})\propto f(y_{t+1}|\alpha _{t+1}) \sum _{j=1}^{M}f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t}^{j})\pi _{t}^{j}$ ,

vi definierar nu ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})\propto f(y_{t+1}|\alpha _{t+1})f(\alpha _{t +1}|\alpha _{t}^{k})\pi ^{k}$ , där $k=1,...,M$ .

Att vara medveten om att ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ bildas av summering av $M$ -partiklar, hjälpvariabeln $k$ representerar en specifik partikel. Med hjälp av $k$ kan vi bilda en uppsättning sampel som har fördelningen $g(\alpha _{t+1}, k|Y_{t+1})$ . Sedan drar vi från dessa provmängder $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ istället för direkt från ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ . Med andra ord, proverna är hämtade från ${\widehat {f}}(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ med olika sannolikhet. Samplen används slutligen för att approximera $f(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ .

Ta SIR-metoden till exempel:

• Partikelfiltren drar $R$ -prover från $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ .
• Tilldela varje prov med vikten $\pi _{j}={\frac {\omega _{j}}{\sum _{i=1}^{R}\omega _ {i}}},\omega _{j}={\frac {f(y_{t+1}|\alpha _{t+1}^{j})f(\alpha _{t+1}^ {j}|\alpha _{t}^{k})}{g(\alpha _{t+1}^{j},k^{j}|Y_{t+1})}}$ .
• Genom att styra $y_{t+1}$ och $\alpha _{t}^{k}$ justeras vikterna så att de blir jämna.
• På liknande sätt samplas ${\displaystyle R} -partiklarna om till$$M$ -partiklar med vikten $\pi _{j}$ .

De ursprungliga partikelfiltren tar prover från den tidigare densiteten, medan hjälpfiltren hämtar från den gemensamma fördelningen av den tidigare densiteten och sannolikheten. Med andra ord undviker de extra partikelfiltren den omständigheten att partiklarna genereras i de regioner med låg sannolikhet. Som ett resultat kan samplen approximera $f(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ mer exakt.

Val av hjälpvariabel

Valet av hjälpvariabeln påverkar $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ och styr fördelningen av proverna. Ett möjligt urval av $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ kan vara: $g(\alpha _{t+1}, k|Y_{t+1})\propto f(y_{t+1}|\mu _{t+1}^{k})f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t} ^{k})\pi ^{k}$ , där $k=1,...,M$ och $\mu _{t+1}^{k}$ är medelvärdet.

Vi samplar från $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ för att approximera $f(\alpha _{t+1}|Y_{t+1})$ enligt följande procedur:

• Först tilldelar vi sannolikheter till indexen för $f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t}^{k})$ . Vi namngav dessa sannolikheter som vikterna i första steget $\lambda _{k}$ , som är proportionella mot $g(k|Y_{t+1})\propto \pi ^{k}f(y_{t+1}|\mu _{t+1}^{k})$ .
• Sedan ritar vi $R$ -sampel från $f(\alpha _{t+1}|\alpha _{t}^{k})$ med de viktade indexen. Genom att göra det drar vi faktiskt proverna från $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ .
• Dessutom tilldelar vi andra stegets vikter $\pi _{j}={\frac {\omega _{j}}{\summa _{i=1 }^{R}\omega _{i}}}$ som sannolikheterna för $R$ -samplen, där $\omega _{j}={\frac {f(y_{t+1}|\alpha _{t+1}^{j})}{f(y_{t +1}|\mu _{t+1}^{j})}}$ . Vikterna syftar till att kompensera effekten av $\mu _{t+1}^{k}$ .

• Slutligen omsamplas ${\displaystyle R} -partiklarna till$$M$ -partiklar med vikterna $\pi _{j}$ .

Efter proceduren drar vi $R$ -proverna från $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1 })$ . Eftersom $g(\alpha _{t+1},k|Y_{t+1})$ är nära besläktat med medelvärdet $\mu _{t+1}^{k}$ , den har hög villkorlig sannolikhet. Som ett resultat är samplingsproceduren mer effektiv och värdet $R$ kan reduceras.

Annan synvinkel

Antag att den filtrerade posterioren beskrivs av följande M- viktade prover:

$p(x_{t}|z_{1:t})\approx \sum _{i=1}^{M}\omega _{t}^{(i)}\delta \left(x_{ t}-x_{t}^{(i)}\höger).$

Sedan består varje steg i algoritmen av att först rita ett prov av partikelindexet $k$ som kommer att spridas från $t-1$ till det nya steget $t$ . Dessa index är hjälpvariabler som endast används som ett mellansteg, därav namnet på algoritmen. Indexen ritas efter sannolikheten för någon referenspunkt $\mu _{t}^{(i)}$ som på något sätt är relaterad till övergångsmodellen $x_{t}|x_{t-1}$ (till exempel medelvärdet, ett urval, etc.):

$k^{(i)}\sim P(i=k|z_ {t})\propto \omega _{t}^{(i)}p(z_{t}|\mu _{t}^{(i)})$

Detta upprepas för $i=1,2,\dots ,M$ , och med hjälp av dessa index kan vi nu dra de villkorliga samplen:

$x_{t}^{(i)}\sim p(x|x_{t-1}^{k^{(i)}}).$

Slutligen uppdateras vikterna för att ta hänsyn till oöverensstämmelsen mellan sannolikheten vid det faktiska urvalet och den förutsagda punkten $\mu _{t}^{k^{(i)}}$ :

$\omega _{t}^{(i)}\propto {\frac {p(z_{t}|x_{t}^{(i)})}{p(z_{t}|\mu _{t}^{k^{(i)}})}}.$

Källor

•   Pitt, MK; Shephard, N. (1999). "Filtrering via simulering: extra partikelfilter" . Journal of the American Statistical Association . American Statistical Association. 94 (446): 590–591. doi : 10.2307/2670179 . JSTOR 2670179 . Arkiverad från originalet 2007-10-16 . Hämtad 2008-05-06 .