Erdős–Mosers ekvation

Olöst problem i matematik :

Har Erdős–Moser-ekvationen andra lösningar än $1^{1}+2^{1}=3^{1}$ ?

(fler olösta problem i matematik)

I talteorin är Erdős –Mosers ekvation

$1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k },$

där $m$ och $k$ är positiva heltal . Den enda kända lösningen är 1 ¹ + 2 ¹ = 3 ¹ , och Paul Erdős förmodade att det inte fanns några ytterligare lösningar.

Restriktioner för lösningar

Leo Moser 1953 bevisade att i alla ytterligare lösningar måste 2 dela k och att m ≥ 10 ^{1 000 000} .

1966 visades det att 6 ≤ k + 2 < m < 2 k .

1994 visades det att lcm (1,2,...,200) delar k och att varje primfaktor på m + 1 måste vara oregelbunden och > 10000.

Mosers metod utökades 1999 för att visa att m > 1.485 × 10 ^9.321.155 .

2002 visades det att alla primtal mellan 200 och 1000 måste dela k .

2009 visades det att 2 k / (2 m – 3) måste vara en konvergent av ln(2) ; storskalig beräkning av ln(2) användes sedan för att visa att m > 2,7139 × 10 ^{1,667,658,416} .