Erdős–Graham problem

I kombinatorisk talteori är Erdős –Graham-problemet problemet med att bevisa att om mängden $\{2,3,4,\dots \}$ av heltal större än ett är uppdelad i ändligt många delmängder, då kan en av delmängderna användas för att bilda en egyptisk bråkrepresentation av enhet. Det vill säga, för varje $r>0$ , och varje $r$ -färgning av heltal som är större än ett, finns det en ändlig monokromatisk delmängd $S$ av dessa heltal så att

$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Mer detaljerat antog Paul Erdős och Ronald Graham att för tillräckligt stora ${\displaystyle r} , skulle$ den största medlemmen av $S$ kunna begränsas av $b^{r}$ för någon konstant $b$ oberoende av $r$ . Det var känt att för att detta ska vara sant $b$ vara åtminstone Eulers konstant $e$ .

Ernie Croot bevisade gissningen som en del av sin doktorsavhandling och publicerade senare (medan han var postdoktorand vid UC Berkeley ) beviset i Annals of Mathematics . Värdet som Croot ger för $b$ är mycket stort: ​​det är högst $e^{167000}$ . Croots resultat följer som en följd av en mer allmän sats som anger förekomsten av egyptiska bråkrepresentationer av enhet för mängder $C$ av jämna tal i intervall av formen $[X, X^{1+\delta }]$ , där $C$ innehåller tillräckligt många tal så att summan av deras reciproka är minst sex. Erdős–Graham-förmodan följer av detta resultat genom att visa att man kan hitta ett intervall av denna form i vilket summan av de reciproka av alla jämna tal är minst $6r$ ; därför, om heltalen är $r$ -färgade måste det finnas en monokromatisk delmängd $C$ som uppfyller villkoren för Croots sats.

En starkare form av resultatet, att varje uppsättning heltal med positiv övre densitet inkluderar nämnare av en egyptisk bråkrepresentation av ett, tillkännagavs 2021 av Thomas Bloom , en postdoktor vid University of Oxford .

Se även

• Gissningar av Erdős

externa länkar

• Ernie Croots webbsida