Enstaka toppade preferenser

Enkeltoppade preferenser är en klass av preferensrelationer . En grupp av agenter sägs ha enstaka preferenser över en uppsättning möjliga utfall om resultaten kan ordnas längs en linje så att:

Varje agent har ett "bästa resultat" i uppsättningen, och -
För varje agent är resultat som ligger längre från hans eller hennes bästa resultat mindre att föredra.

Enkeltoppade preferenser är typiska för endimensionella domäner. Ett typiskt exempel är när flera konsumenter ska ta ställning till hur mycket allmän nytta som ska köpas. Mängden är en endimensionell variabel. Vanligtvis bestämmer varje konsument en viss kvantitet som är bäst för honom eller henne, och om den faktiska kvantiteten är mer/mindre än den ideala kvantiteten är agenten mindre nöjd.

Med entoppade preferenser finns det en enkel sanningsenlig mekanism för att välja ett resultat: det är att välja mediankvantiteten. Se medianväljarsatsen . Det är sanningsenligt eftersom medianfunktionen uppfyller den starka monotoniska egenskapen.

Begreppet presenterades först av Duncan Black och senare av Kenneth Arrow .

Definitioner

Låt $X=\{x_{1},\ldots ,x_{m}\}$ vara uppsättningen av möjliga utfall. Låt $N=\{1,\ldots ,n\}$ vara uppsättningen av agenter. Preferensrelationen för agent i betecknas med $\succ _{i}$ . Det maximala elementet av $\succ _{i}$ i X betecknas med $x_{i}^{*}$ _.

Definition med hjälp av en gemensam ordning

Gruppen N sägs ha entoppade preferenser framför X , om det finns en ordning > av resultaten så att för varje agent i i N :

$x_{k}<x_{j}\leq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\succ _{i} x_{k}$ $x_{k}>x_{j}\geq x_{i}^{*}\Rightarrow x_{j}\ succ _{i}x_{k}$

Med ord, $x_{i}^{*}$ är den idealiska punkten för agent i . När agenten jämför mellan två utfall som är både till höger eller till vänster om hans idealpunkt, föredrar han strikt vilket alternativ som är närmast $x_{i}^{*}$ .

Observera att preferensrelationerna $\succ _{i}$ är olika, men ordningen > av resultaten måste vara densamma för alla agenter.

Nödvändigt skick

Ballester och Haeringer visade följande nödvändiga villkor för entoppade preferenser.

Om gruppen N har entoppade preferenser över X , så finns det för varje triplett av utfall i X ett resultat som inte rankas sist av någon agent i N .

Några exempel

Enkeltoppade preferenser

Följande graf visar en uppsättning av tre preferenser som är enstaka toppar över resultaten {A,B,C,D,E}. På den vertikala axeln representerar siffran preferensrankningen av resultatet, där 1 är mest föredraget. Två resultat som är lika föredragna har samma rangordning.

Ordningen över resultaten är A < B < C < D < E. Det ideala resultatet för den gröna agenten är A, för den röda är den B, för den blå är den C. För varje agent, när vi går bort från hans idealiskt resultat, sjunker rankningen.

Det kan också verifieras att, för varje triplett av utfall, en av dem aldrig rankas sist - den i mitten. T.ex. i {A,B,C} rankas B aldrig sist; i {C,D,E} rankas D aldrig sist; etc.

Icke entoppade preferenser

Om var och en av de två inställningarna som representeras av följande två grafer läggs till de tre inställningarna ovan, är den resulterande gruppen med fyra inställningar inte enstaka toppar:

För de blå inställningarna kan det ses att preferensrankningen spikar ner för "D" och sedan ökar för "E". Detta bevisar att de blå preferenserna inte är entoppade med avseende på beställning A

De gröna preferenserna är inte formellt entoppade eftersom de har två utfall som är de mest föredragna: "B" och "C". Sådana preferenser kallas ibland single-plateaued .

Tolkningar

Enkeltoppade preferenser har ett antal tolkningar för olika tillämpningar.

En enkel tillämpning av ideologiska preferenser är att tänka på utfallsutrymmet $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ som platser på en gata och varje $x_{i}$ som adressen till en individ. Anta att en enda busshållplats måste finnas på gatan och att varje individ vill gå så lite som möjligt till hållplatsen. Individer har då entoppade preferenser: individ $i$ s idealpunkt är $x_{i}$ och hon ogillar andra platser ju längre de är i väster eller ju längre de är österut .

Resultatutrymmet kan också ses som olika politikområden i ett ideologiskt spektrum: politik från vänstern vs politik från högern; politik som är mer liberal kontra politik som är mer konservativ; politik som är för fria marknader kontra politik som är för statlig intervention. Väljare har enstaka preferenser om de har en idealisk balans mellan de två riktningarna i det ideologiska spektrumet och om de ogillar politik ju längre bort de är från sin idealpunkt.

Enkeldoppade preferenser

En grupp agenter sägs ha enstaka preferenser framför en uppsättning möjliga utfall om resultaten kan ordnas längs en linje så att:

Varje agent har ett " sämsta resultat" i uppsättningen, och -
För varje agent föredras resultat som ligger längre från hans sämsta resultat .

Se även

Enparametermekanism

Austen-Smith, David & Jeffrey Banks (2000). Positiv politisk teori I: Kollektiva preferenser . University of Michigan Press. ISBN 978-0-472-08721-1 .
Mas-Colell, Andreu, Michael D. Whinston och Jerry R. Green (1995). Mikroekonomisk teori . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9 . {{ citera bok }} : CS1 underhåll: flera namn: lista över författare ( länk )
Moulin, Hervé (1991). Axiom för kooperativt beslutsfattande . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42458-5 .