Unit dummy kraftmetod

Unit dummy force-metoden ger ett bekvämt sätt att beräkna förskjutningar i strukturella system. Den är tillämpbar för både linjära och icke-linjära materialbeteenden såväl som för system som är föremål för miljöpåverkan, och därmed mer generell än Castiglianos andra sats .

Diskreta system

Betrakta ett diskret system såsom takstolar, balkar eller ramar som har delar sammankopplade vid noderna. Låt den konsekventa uppsättningen av medlemmarnas deformationer ges av ${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}} ,$ som kan beräknas med hjälp av medlemsflexibilitetsrelationen . Dessa elementdeformationer ger upphov till nodförskjutningarna ${\displaystyle \mathbf {r} _{N\ gånger 1}} ,$ som vi vill bestämma.

Vi börjar med att applicera N virtuella nodalkrafter ${\displaystyle \mathbf {R} _{N\ gånger 1}^{*}} ,$ en för varje önskad r , och hittar de virtuella medlemskrafterna $\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}$ som är i jämvikt med $\mathbf {R} _{N\times 1}^{*}$ :

$$\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}=\mathbf {B} _{M\times N}\mathbf { R} _{N\ gånger 1}^{*}$$

 

 

 

 

()

I fallet med ett statiskt obestämt system är matris B inte unik eftersom mängden $\mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}$ som uppfyller nodaljämvikt är oändlig. Den kan beräknas som inversen av den nodala jämviktsmatrisen för vilket primärt system som helst som härletts från det ursprungliga systemet.

Föreställ dig att inre och yttre virtuella krafter genomgår de verkliga deformationerna respektive förskjutningarna; det virtuella arbetet som utförs kan uttryckas som:

• Externt virtuellt arbete: $\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r}$
• Internt virtuellt arbete: $\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q}$

Enligt principen om virtuellt arbete är de två arbetsuttrycken lika:

$$\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q}$$

Substitution av (1) ger

$$\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} .$$

Eftersom $\mathbf {R} ^{*}$ innehåller godtyckliga virtuella krafter, ger ovanstående ekvation

$$\mathbf {r} =\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q}$$

 

 

 

 

()

Det är anmärkningsvärt att beräkningen i (2) inte innebär någon integration oavsett systemens komplexitet, och att resultatet är unikt oavsett val av primärsystem för B . Den är således mycket bekvämare och mer generell än den klassiska formen av dummy-enhetsbelastningsmetoden, som varierar med typen av system såväl som med de påtvingade externa effekterna. Å andra sidan är det viktigt att notera att ekv.(2) endast är till för att beräkna förskjutningar eller rotationer av noderna. Detta är inte en begränsning eftersom vi kan göra vilken punkt som helst till en nod när så önskas.

Slutligen uppstår namnet enhetslast från tolkningen att koefficienterna $B_{i,j}$ i matris B är elementkrafterna i jämvikt med enheten nodalkraft $R_ {j}^{*}=1$ , i kraft av ekv.(1).

Allmänna system

För ett generellt system kommer enheten dummy force-metoden också direkt från den virtuella arbetsprincipen . Fig.(a) visar ett system med kända faktiska deformationer ${\boldsymbol {\epsilon }}$ . Dessa deformationer, som antas vara konsekventa, ger upphov till förskjutningar i hela systemet. Till exempel har en punkt A flyttats till A', och vi vill beräkna förskjutningen r av A i den riktning som visas. För detta speciella ändamål väljer vi det virtuella kraftsystemet i Fig.(b) som visar:

• Enhetskraften R * är vid A och i riktning mot r så att det externa virtuella arbetet som utförs av R * är, notera att arbetet som utförs av de virtuella reaktionerna i (b) är noll eftersom deras förskjutningar i (a) är noll :
  $$R^{*}\ gånger r=1\ gånger r$$
  är den önskade förskjutningen
• Det interna virtuella arbetet som utförs av de virtuella påfrestningarna är
  $$\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV$$
  där de virtuella spänningarna ${\boldsymbol {\sigma }}^{*}$ måste uppfylla jämvikt överallt.

Att likställa de två arbetsuttrycken ger den önskade förskjutningen:

$$1\ gånger r=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*} dV$$