Elementära effekter metod

elementära effekter (EE) är den mest använda screeningsmetoden känslighetsanalys .

EE används för att identifiera icke-inflytelserika indata för en beräkningsmässigt kostsam matematisk modell eller för en modell med ett stort antal indata, där kostnaderna för att uppskatta andra känslighetsanalysmått som de variansbaserade måtten inte är överkomliga. Liksom all screening ger EE-metoden kvalitativa känslighetsanalysmått, det vill säga mått som möjliggör identifiering av icke-inflytelserika insatser eller som gör det möjligt att rangordna insatsfaktorerna efter betydelse, men som inte exakt kvantifierar insatsernas relativa betydelse.

Metodik

För att exemplifiera EE-metoden, låt oss anta att vi betraktar en matematisk modell med $k$ ingångsfaktorer. Låt $Y$ vara resultatet av intresse (en skalär för enkelhetens skull):

$Y=f(X_{1},X_{2},...X_{k}).$

Den ursprungliga EE-metoden från Morris ger två känslighetsmått för varje insatsfaktor:

• måttet $\mu$ , bedömer den övergripande betydelsen av en insatsfaktor på modellens utdata;
• måttet $\sigma$ , som beskriver icke-linjära effekter och interaktioner.

Dessa två mått erhålls genom en design baserad på konstruktionen av en serie banor i utrymmet för ingångarna, där ingångarna slumpmässigt flyttas One-At-A-Time (OAT). I denna design antas varje modellinmatning variera över $p$ valda nivåer i utrymmet för ingångsfaktorerna. Experimentområdet $\Omega$ är alltså ett $k$ -dimensionellt $p$ -nivårutnät.

Varje bana är sammansatt av $(k+1)$ punkter eftersom indatafaktorer rör sig en efter en i ett steg $\Delta$ i $\{0,1/(p-1),2/(p-1),...,1\}$ medan alla andra förblir fixerade.

Längs varje bana definieras den så kallade elementära effekten för varje insatsfaktor som:

$i}(X)= {\frac {Y(X_{1},\ldots,X_{i-1},X_{i}+\Delta,X_{i+1},\ldots,X_{k})-Y(\mathbf { X} )}{\Delta }}}$ ,

där $\mathbf {X} =(X_{1},X_{2},...X_{k})$ är valfritt valt värde i ${\displaystyle \Omega } så att den transformerade$$i=1,\ldots ,k.$ fortfarande är i $\Omega$ för varje index

$r$ elementära effekter uppskattas för varje ingång $d_{i}\left (X^{(1)}\höger),d_{i}\left(X^{(2)}\höger),\ldots ,d_{i}\left(X^{(r)}\höger)$ genom att slumpmässigt ta $r$ punkter $X^{(1)},X^{(2)},\ldots ,X ^{(r)}$ .

Vanligtvis $r$ ~ 4-10, beroende på antalet ingångsfaktorer, på modellens beräkningskostnad och på valet av antalet nivåer $p$ , eftersom ett stort antal nivåer till undersökas måste balanseras av ett stort antal banor för att erhålla ett undersökande prov. Det visas att ett bekvämt val för parametrarna $p$ och $\Delta$ är $p$ jämn och $\Delta$ lika med $p/[2(p-1)]$ , eftersom detta säkerställer lika sannolikhet för sampling i inmatningsutrymmet.

Om ingångsfaktorerna inte är jämnt fördelade är bästa praxis att sampla i kvantilers utrymme och att erhålla ingångsvärdena med hjälp av inversa kumulativa fördelningsfunktioner. Observera att i det här fallet $\Delta$ lika med steget som tas av ingångarna i kvantilernas utrymme.

De två måtten $\mu$ och $\sigma$ definieras som medelvärdet och standardavvikelsen för fördelningen av de elementära effekterna för varje ingång:

$\mu _{i}={\frac {1}{r}}\summa _{j=1}^{r} d_{i}\left(X^{(j)}\right)$ ,

$\sigma _{i}={\sqrt {{\frac {1}{(r-1)}}\summa _{j=1}^{r}\left(d_{i}\left(X^{ (j)}\right)-\mu _{i}\right)^{2}}}$ .

Dessa två mått måste läsas tillsammans (t.ex. på en tvådimensionell graf) för att rangordna ingångsfaktorer efter betydelse och identifiera de indata som inte påverkar outputvariabiliteten. Låga värden på både $\mu$ och $\sigma$ motsvarar en icke-inflytande ingång.

En förbättring av denna metod utvecklades av Campolongo et al. som föreslog ett reviderat mått ${\displaystyle \mu ^{*}} ,$ vilket i sig är tillräckligt för att ge en tillförlitlig rangordning av insatsfaktorerna. Det reviderade måttet är medelvärdet av fördelningen av de absoluta värdena av de elementära effekterna av insatsfaktorerna:

$\mu _{i}^{*}={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{r}\left|d_{i}\left(X^{( j)}\right)\right|$ .

Användningen av $\mu ^{*}$ löser problemet med effekterna av motsatta tecken som uppstår när modellen är icke- montonisk och som kan eliminera varandra, vilket resulterar i ett lågt värde för ${ \displaystyle \mu }$ .

Ett effektivt tekniskt schema för att konstruera banorna som används i EE-metoden presenteras i den ursprungliga artikeln av Morris, medan en förbättringsstrategi som syftar till att bättre utforska inmatningsutrymmet föreslås av Campolongo et al..