Elementära divisorer

I algebra förekommer de elementära divisorerna för en modul över en principiell idealdomän (PID) i en form av struktursatsen för ändligt genererade moduler över en principiell idealdomän .

Om $R$ är en PID och $M$ en ändligt genererad $R$ -modul, då är M isomorf till en ändlig summa av formen

$M\cong R^{r}\oplus \bigoplus _{i=1}^{l}R/(q_ {i})\qquad {\text{med }}r,l\geq 0$

där $(q_{i})$ är primära ideal som inte är noll .

Listan över primära ideal är unik upp till ordning (men ett givet ideal kan finnas mer än en gång, så listan representerar en multiuppsättning av primära ideal); elementen $q_{i}$ är unika endast upp till associering , och kallas elementära divisorer . Observera att i en PID är de primära idealen som inte är noll potenser av primideal, så de elementära divisorerna kan skrivas som potenser $q_{i}=p_{i}^{r_{i} }$ av irreducerbara element. Det icke-negativa heltal $r$ kallas den fria rangen eller Betti-numret för modulen $M$ .

Modulen bestäms fram till isomorfism genom att specificera dess fria rangordning r , och för klass av associerade irreducerbara element pk ^p och varje positivt heltal k antalet gånger som förekommer bland de elementära divisorerna. De elementära divisorerna kan erhållas från listan över invarianta faktorer i modulen genom att sönderdela var och en av dem så långt som möjligt i parvis relativt prime (icke-enhets) faktorer, som kommer att vara potenser av irreducerbara element. Denna nedbrytning motsvarar maximal nedbrytning av varje submodul som motsvarar en invariant faktor genom att använda den kinesiska restsatsen för R . Omvänt, om man känner till multiuppsättningen M av elementära divisorer, kan de invarianta faktorerna hittas, med början från den sista (som är en multipel av alla andra), enligt följande. För varje irreducerbart element p så att någon potens p ^k förekommer i M , ta den högsta sådan potensen, ta bort den från M , och multiplicera dessa potenser tillsammans för alla (klasser av associerade) p för att ge den slutliga invarianta faktorn; så länge M är icke-tom, upprepa för att hitta de invarianta faktorerna före den.

Se även

• Invarianta faktorer

•   B. Hartley ; TO Hawkes (1970). Ringar, moduler och linjär algebra . Chapman och Hall. ISBN 0-412-09810-5 . Kap.11, s.182.
• Kille. III.7, s.153 av    Lang, Serge (1993), Algebra (tredje upplagan), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0 , Zbl 0848.13001