Diskret spline-interpolation

Inom det matematiska området för numerisk analys är diskret splineinterpolation en form av interpolation där interpolanten är en speciell typ av styckevis polynom som kallas en diskret spline. En diskret spline är ett bitvis polynom så att dess centrala skillnader är kontinuerliga vid knutarna medan en spline är ett bitvis polynom så att dess derivator är kontinuerliga vid knutarna. Diskreta kubiska splines är diskreta splines där de centrala skillnaderna i ordning 0, 1 och 2 måste vara kontinuerliga.

Diskreta splines introducerades av Mangasarin och Schumaker 1971 som lösningar på vissa minimeringsproblem som involverade skillnader.

Diskreta kubiska splines

Låt x ₁ , x ₂ , . . ., _{xn vara} -1 en ökande sekvens av reella tal. Låt g ( x ) vara ett styckevis polynom definierat av

$g(x)={\begin{cases}g_{1}(x)&x<x_{1}\\g_{i}(x)&x_{i-1}\leq x<x_{ i}{\text{ för }}i=2,3,\ldots ,n-1\\g_{n}(x)&x\geq x_{n-1}\end{cases}}$

där g ₁ ( x ), . . ., g _n ( x ) är polynom av grad 3. Låt h > 0. If

$(g_{i+1}-g_{ i})(x_{i}+jh)=0{\text{ för }}j=-1,0,1{\text{ och }}i=1,2,\ldots ,n-1$

då kallas g ( x ) en diskret kubisk spline.

Alternativ formulering 1

Villkoren som definierar en diskret kubisk spline är likvärdiga med följande:

$g_{i+1}(x_{i}-h)=g_{i}(x_{i}-h)$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i})=g_{i}(x_{i})$

${\displaystyle g_{i+1}(x_{i}+h)=g_{i}(x_{i}+h)$

Alternativ formulering 2

De centrala skillnaderna i ordning 0, 1 och 2 för en funktion f ( x ) definieras enligt följande:

$D^{(0)}f(x)=f(x)$

$D^{(1)}f(x)={\frac {f(x+h)-f(xh)}{2h}}$

$D^{(2)}f(x)={\frac {f(x+h)-2f( x)+f(xh)}{h^{2}}}$

Villkoren som definierar en diskret kubisk spline är också ekvivalenta med

$D^{( j)}g_{i+1}(x_{i})=D^{(j)}g_{i}(x_{i}){\text{ för }}j=0,1,2{\text { och }}i=1,2,\ldots ,n-1.$

Detta anger att de centrala skillnaderna $D^{(j)}g(x)$ är kontinuerliga vid x _i .

Exempel

Låt x ₁ = 1 och x ₂ = 2 så att n = 3. Följande funktion definierar en diskret kubisk spline:

$g(x)={\begin{cases}x^{3}&x<1\\ x^{3}-2(x-1)((x-1)^{2}-h^{2})&1\leq x<2\\x^{3}-2(x-1)( (x-1)^{2}-h^{2})+(x-2)((x-2)^{2}-h^{2})&x\geq 2\end{cases}}$

Diskret kubisk spline interpolant

₀₀ Låt x < x ₁ och x _n > x _{n -1} och f ( x ) vara en funktion definierad i det slutna intervallet [ x - h, x _n + h]. Sedan finns det en unik kubisk diskret spline g ( x ) som uppfyller följande villkor:

$g(x_{i})=f(x_{i}){\text{ för }}i=0,1,\ldots ,n.$

$D^{(1)}g_{1}(x_{0})=D^{(1)}f(x_{0}).$

$D^{(1)}g_{n}(x_{n})=D^{(1)}f(x_{n}).$

₀₀ Denna unika diskreta kubiska spline är den diskreta spline-interpolanten till f ( x ) i intervallet [ x - h, x _n + h]. Denna interpolant överensstämmer med värdena för f ( x ) vid x , x ₁ , . . . _, xn .

Ansökningar

• Diskreta kubiska splines introducerades ursprungligen som lösningar på vissa minimeringsproblem.
• De har tillämpningar för beräkning av olinjära splines.
• De används för att få en ungefärlig lösning av ett andra ordningens gränsvärdesproblem.
• Diskreta interpolatoriska splines har använts för att konstruera biortogonala vågor.