Direkt simulering Monte Carlo

Direktsimulering Monte Carlo- metoden ( DSMC ) använder probabilistisk Monte Carlo- simulering för att lösa Boltzmann-ekvationen för ändliga Knudsental- vätskeflöden .

DSMC-metoden föreslogs av Graeme Bird, emeritusprofessor i flygteknik, University of Sydney. DSMC är en numerisk metod för att modellera förtärnade gasflöden, där den fria medelvägen för en molekyl är av samma ordning (eller större) än en representativ fysisk längdskala (dvs. Knudsentalet Kn är större än 1). I överljuds- och hypersoniska flöden kännetecknas sällsynthet av Tsiens parameter, som är ekvivalent med produkten av Knudsental och Machtal (KnM) eller M $^{2}$ /Re, där Re är Reynoldstalet. I dessa sällsynta flöden Navier-Stokes ekvationer vara felaktiga. DSMC-metoden har utökats till att modellera kontinuumflöden (Kn < 1) och resultaten kan jämföras med Navier Stokes lösningar.

DSMC-metoden modellerar vätskeflöden med hjälp av probabilistiska simuleringsmolekyler för att lösa Boltzmann-ekvationen . Molekyler förflyttas genom en simulering av fysiskt rum på ett realistiskt sätt som är direkt kopplat till fysisk tid så att ostadiga flödesegenskaper kan modelleras. Intermolekylära kollisioner och molekyl-yta-kollisioner beräknas med hjälp av probabilistiska, fenomenologiska modeller . Vanliga molekylära modeller inkluderar den hårda sfärmodellen, den variabla hårda sfärmodellen (VHS) och den variabla mjuka sfärmodellen (VSS). Olika kollisionsmodeller presenteras i.

För närvarande har DSMC-metoden tillämpats på lösningen av flöden som sträcker sig från uppskattning av rymdfärjans aerodynamik för återinträde till modellering av mikroelektromekaniska system (MEMS).

DSMC-algoritm

Monte Carlo-algoritmen för direktsimulering är som molekylär dynamik genom att systemets tillstånd ges av partiklarnas positioner och hastigheter, $\{\mathbf {r} _{i}, {\textbf {v}}_{i}\}$ , för $i=1,\ldots ,N$ . Till skillnad från molekylär dynamik representerar varje partikel i en DSMC-simulering ${\displaystyle F_{N}}-$ molekyler i det fysiska systemet som har ungefär samma position och hastighet. Detta gör att DSMC kan skala om längd och tid för modellering av makroskopiska system (t.ex. satellitåterinträde). Specifikt är systemvolymen $V=(NF_{N})/n$ , där $n$ är taldensiteten och varje kollision mellan simuleringspartiklar representerar $F_{N}$ kollisioner mellan molekyler i det fysiska systemet. Som en tumregel bör det finnas 20 eller fler partiklar per kubik genomsnittlig fri väg för korrekta resultat.

Systemets utveckling är integrerad i tidssteg, ${\displaystyle \tau } ,$ som typiskt är i storleksordningen av medelkollisionstiden för en partikel. Vid varje tidssteg flyttas alla partiklar och sedan kolliderar en slumpmässig uppsättning par. I frånvaro av yttre fält (t.ex. gravitation) rör sig partiklarna ballistiskt som $_{i}(t+ \tau )=\mathbf {r} _{i}(t)+\mathbf {v} _{i}(t)\tau }$ . Varje partikel som når en gräns eller en yta får sin position och hastighet nollställd i enlighet med detta (t.ex. periodiska gränsförhållanden) . Efter att alla partiklar har rört sig sorteras de i celler och några väljs slumpmässigt ut för att kollidera. baserad på sannolikheter och kollisionshastigheter erhållna från den kinetiska teorin om gaser . Efter att hastigheterna för alla kolliderande partiklar har återställts, utförs statistisk provtagning och sedan upprepas processen för nästa tidssteg.

Kollisioner

Vid varje tidssteg sorteras partiklarna i rumsliga celler och endast partiklar i samma cell tillåts kollidera. Typiskt är dimensionen av en cell inte större än en medelfri väg. Alla par av partiklar i en cell är kandidatkollisionspartner, oavsett deras faktiska banor.

Detaljerna för hur kollisioner beräknas i DSMC beror på den molekylära interaktionsmodellen; här tar vi hårda sfärer , som är den enklaste. I modellen med hårda sfärer är kollisionssannolikheten för paret av partiklar, $i$ och $j$ , proportionell mot deras relativa hastighet,

$$P_{\mathrm {coll} }[i,j]={{|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} \över {\summa _{m= 1}^{N_{\mathrm {c} }}\summa _{n=1}^{m-1}|\mathbf {v} _{m}-\mathbf {v} _{n}|}}$$

där $N_{\mathrm {c} }$ är antalet partiklar i cellen och summeringarna är över partiklar i cellen. På grund av den dubbla summan i nämnaren kan det bli beräkningsmässigt dyrt att använda denna kollisionssannolikhet direkt. Istället kan följande avvisningssamplingsschema användas för att välja kollisionspar:

1. Ett par kandidatpartiklar, $i$ och $j$ , väljs slumpmässigt och deras relativa hastighet, ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|} , beräknas$ .
2. Paret accepteras som kollisionspartner om ${\displaystyle v_{\mathrm {r} }>v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }\Re } ,$ där $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ är den maximala relativa hastigheten i cellen och $\Re$ är en enhetlig avvikelse i [0, 1 ).
3. Om paret accepteras, bearbetas kollisionen; partiklarnas hastigheter återställs men positionerna är oförändrade.
4. Efter att kollisionen har bearbetats eller om paret avvisats, återgå till steg 1.

Denna procedur är korrekt även om värdet på $v_{\mathrm {r} }^{\mathrm {max} }$ är överskattat, även om det är mindre effektivt i den meningen att fler kandidater avvisas .

Efter att kollisionsparet har valts, deras postkollisionshastigheter, $\mathbf {v} _{i}^{*}$ och $\mathbf {v} _{j}^ {*}$ , utvärderas. Att skriva den relativa hastigheten i termer av sfäriska vinklar , $\theta$ och $\phi$

$$\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}=v_{\mathrm {r} }[(\sin \theta \cos \phi ){\hat {\mathbf {x} }}+(\sin \theta \sin \phi ){\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }}]$$

dessa vinklar väljs av en Monte Carlo-process med fördelningar som ges av kollisionsmodellen. För modellen med hårda sfärer är dessa vinklar jämnt fördelade över enhetssfären . Den azimutala vinkeln är jämnt fördelad mellan 0 och $2\pi$ , så den väljs som $\phi =2\pi \Re _{1}$ där ${ \displaystyle \Re _{1}}$ är en enhetlig avvikelse i [0, 1). Den polära vinkeln är fördelad enligt sannolikhetstätheten,

$$P_{\theta }(\theta )\,d\theta ={\textstyle {\frac {1}{2}}}\sin \ theta \,d\theta$$

Genom att använda ändringen av variabeln $q=\sin \theta$ , har vi $P_{q}(q)\,dq =({\textstyle {\frac {1}{2}}})\,dq$ så

$$\cos \theta =q~\mathrm {and} ~\sin \theta ={ \sqrt {1-q^{2}}}~\mathrm {där} ~q=2\Re _{2}-1$$

Hastigheterna efter kollisionen är inställda som

$$\mathbf {v} _{i}^{*}=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}+{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}\qquad \mathbf {v} _{j}^{* }=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}-{1 \over 2}\mathbf {v} _{\mathrm {r} }^{*}$$

Observera att genom bevarande av linjär rörelsemängd och energi är masscentrumets hastighet och den relativa hastigheten oförändrade vid en kollision. Det är,

$$\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }={1 \ över 2}(\mathbf {v} _{i}+\mathbf {v} _{j})={1 \over 2}(\mathbf {v} _{i}^{*}+\mathbf {v } _{j}^{*})=\mathbf {v} _{\mathrm {cm} }^{*}$$

och

$$v_{\mathrm {r} }=|\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{j}|=|\mathbf {v} _{i}^{ *}-\mathbf {v} _{j}^{*}|=v_{\mathrm {r} }^{*}$$

Denna process upprepas för varje par kolliderande partiklar.

Från kollisionsfrekvensen, ${\displaystyle f_{\mathrm {coll} }} ,$ givet av kinetisk teori är det totala antalet hårda sfärkollisioner i en cell under en tid τ $\displaystyle \tau }$

$$M_{\ mathrm {coll} }={1 \över 2}(N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}f_{\mathrm {coll} }\tau ={{N_{\mathrm {c} }( N_{\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}\langle v_{\mathrm {r} }\rangle \tau } \over {2V_{\mathrm {c} }}}$$

där $d$ är partikeldiametern och $\displaystyle V_{\mathrm {c} }}$ är cellens volym. Eftersom kollisionskandidater går igenom ett provtagningsprocedur för avslag är förhållandet mellan totalt accepterade och totala kandidater för hårda sfärpartiklar

$${{M_{\mathrm {coll} }} \over {M_{\mathrm {cand} }}}={{\langle v_{\mathrm {r} }\rangle } \over {v_{\mathrm {r} }^{\max }}}$$

Antalet kollisionskandidater valda i en cell under ett tidssteg $\tau$ är

$$M_{\mathrm {cand} }={{N_{\mathrm {c} }(N_ {\mathrm {c} }-1)F_{N}\pi d^{2}v_{\mathrm {r} }^{\max }\tau } \över {2V_{\mathrm {c} }}}$$

Detta tillvägagångssätt för att bestämma antalet kollisioner är känt som No-Time-Counter (NTC)-metoden. Om $v_{\mathrm {r} }^{\max }$ sätts överdrivet högt så bearbetar algoritmen samma antal kollisioner (i genomsnitt) men simuleringen är ineffektiv eftersom många kandidater avvisas.

externa länkar

• Direktsimulering Monte Carlo-metod: Visuella simuleringsprogram skapade av GA Bird .
• DSMC Demo Applet av Greg Khanlarov
• Kursmaterial om DSMC (en del av Computational Physics tutorial av Franz J. Vesely, University of Vienna)
• Kursmaterial om DSMC och den senaste utvecklingen (given vid IPAM UCLA av Lorenzo Pareschi, University of Ferrara)