Direktörskrets

En ellips, dess minsta begränsningsram och dess regissörscirkel.

Inom geometri är riktningscirkeln för en ellips eller hyperbel (även kallad ortoptisk cirkel eller Fermat–Apollonius cirkel ) en cirkel som består av alla punkter där två vinkelräta tangentlinjer till ellipsen eller hyperbeln korsar varandra.

Egenskaper

Regissörscirkeln för en ellips omger ellipsens minsta begränsningsram . Den har samma centrum som ellipsen, med radien ${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ , där $a$ och $b$ är ellipsens halvstoraxel och halvmollaxel . Dessutom har den egenskapen att ellipsen spänner över en rät vinkel när den ses från valfri punkt på cirkeln .

Direktörcirkeln för en hyperbel har radien $\sqrt a 2 - b 2$ , och kanske inte existerar i det euklidiska planet , men kan vara en cirkel med imaginär radie i det komplexa planet .

Generalisering

$w man$ för varje samling av punkter $Pi i$ , vikter och konstant $C$ definiera en cirkel som platsen för punkterna $X$ så att

\sum w_{i}\,d^{2}(X,P_{i})=C.

Direktcirkeln för en ellips är ett specialfall av denna mer allmänna konstruktion med två punkter $P 1$ och $P 2$ vid ellipsens brännpunkter, vikterna $w 1 = w 2 = 1$ , och $C$ lika med kvadraten på huvudaxeln på ellipsen. Apolloniuscirkeln , platsen för punkterna $X$ så att förhållandet mellan avstånden mellan $X$ och två brännpunkter $P 1$ och $P 2 är$ en fast konstant $r$ , är ett annat specialfall, med $w 1 = 1$ , $w 2 = - r 2$ , och $C = 0$ .

Relaterade konstruktioner

I fallet med en parabel degenererar riktningscirkeln till en rät linje, parabelns riktning .

Anteckningar

Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometry of Conics , Mathematical World, vol. 26, American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4323-9 .
Cremona, Luigi (1885), Elements of Projective Geometry , Oxford: Clarendon Press, sid. 369 .
Faulkner, T. Ewan (1952), Projective Geometry , Edinburgh och London: Oliver och Boyd
Hawkesworth, Alan S. (1905), "Some new ratios of conic curves", The American Mathematical Monthly , 12 (1): 1–8, doi : 10.2307/2968867 , JSTOR 2968867 , MR 1516260 .
Loney, Sidney Luxton (1897), The Elements of Coordinate Geometry , London: Macmillan and Company, Limited, sid. 365 .
Wentworth, George Albert (1886), Elements of Analytic Geometry , Ginn & Company, sid. 150 .