DeGroot-inlärning

DeGroot-inlärning hänvisar till en tumregel typ av social inlärningsprocess. Idén uttalades i sin allmänna form av den amerikanske statistikern Morris H. DeGroot ; Föregångar artikulerades av John RP French och Frank Harary. Modellen har använts inom fysik , datavetenskap och mest allmänt inom teorin om sociala nätverk .

Installation och inlärningsprocessen

Ta ett samhälle av $n$ agenter där alla har en åsikt om ett ämne, representerat av en vektor av sannolikheter $p(0) =(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))$ . Agenter får ingen ny information baserad på vilken de kan uppdatera sina åsikter utan de kommunicerar med andra agenter. Länkar mellan agenter (vem vet vem) och vikten de lägger på varandras åsikter representeras av en förtroendematris $T$ där $T_{ij}$ är vikten som agenten $i$ sätter på agent $j$ s åsikt. Förtroendematrisen är alltså i ett ett-till-ett förhållande med en viktad , riktad graf där det finns en kant mellan $i$ och $j$ om och endast om $T_ {ij}>0$ . Förtroendematrisen är stokastisk , dess rader består av icke-negativa reella tal, där varje rad summeras till 1.

Formellt uppdateras övertygelserna i varje period som

p(t)=Tp(t-1)

så de ${\displaystyle t}:$ e periodens åsikter är relaterade till de initiala åsikterna av

p(t)=T^{t}p(0)

Konvergens av övertygelser och konsensus

En viktig fråga är om övertygelser konvergerar till en gräns och till varandra i det långa loppet. Eftersom förtroendematrisen är stokastisk kan standardresultat i Markov-kedjeteorin användas för att ange förhållanden under vilka gränsen

p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _ {t\to \infty }T^{t}p(0)

finns för alla initiala övertygelser $p(0)\in [0,1]^{n}$ . Följande fall behandlas i Golub och Jackson (2010).

Starkt sammankopplat fodral

Om grafen för det sociala nätverket (representerad av förtroendematrisen) är starkt kopplad , är konvergens av övertygelser ekvivalent med var och en av följande egenskaper:

grafen som representeras av $T$ är aperiodisk
det finns en unik vänster egenvektor $s$ av $T$ $p\in [0,1 ]^{n}$ motsvarar egenvärde 1 vars poster summeras till 1 så att för varje , $\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i} =s\cdot p$ för varje $i\in \{1,\dots ,n\}$ där $\cdot$ anger punktprodukten .

Ekvivalensen mellan de två sistnämnda är en direkt följd av Perron–Frobenius sats .

Allmänt fall

Det är inte nödvändigt att ha ett starkt sammankopplat socialt nätverk för att ha konvergenta övertygelser, men jämlikheten mellan begränsande övertygelser håller inte i allmänhet.

Vi säger att en grupp av agenter $C\subseteq \{1,\dots ,n\}$ är stängd om för någon $i\in C$ , $T_{ij}>0$ endast om $j\in C$ . Övertygelser är konvergenta om och bara om varje uppsättning noder (som representerar individer) som är starkt sammankopplade och slutna också är aperiodiska .

Konsensus

En grupp $C$ av individer sägs nå konsensus om $p_{i}(\infty )=p_{j}(\infty )$ för any $i,j\in C$ . Detta innebär att de, som ett resultat av inlärningsprocessen, i gränsen har samma tro på ämnet.

Med ett starkt sammankopplat och aperiodiskt nätverk når hela gruppen enighet. I allmänhet når varje starkt sammankopplad och sluten grupp $C$ av individer en konsensus för varje initial vektor av föreställningar om och bara om den är aperiodisk. Om det till exempel finns två grupper som uppfyller dessa antaganden, når de en konsensus inom grupperna men det finns inte nödvändigtvis en konsensus på samhällsnivå.

Socialt inflytande

Ta ett starkt uppkopplat och aperiodiskt socialt nätverk. I det här fallet bestäms den vanliga begränsande övertygelsen av den initiala övertygelsen genom

p(\infty )=s\cdot p(0)

där $s$ är den unika enhetslängden vänster egenvektor för $T$ som motsvarar egenvärdet 1. Vektorn $s$ visar vikterna som agenter lägger på varandras initiala övertygelser om konsensusgränsen . Således, ju högre ${\displaystyle s_{i}} är$ , desto mer inflytande har individen $i$ på konsensustron.

Egenvektoregenskapen $s=sT$ antyder det

s_{i}=\summa _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}

Detta betyder att inflytandet av $i$ är ett viktat medelvärde av de agenters inflytande $s_{j}$ som uppmärksammar i { $displaystyle i}$ , med vikter av deras förtroendenivå. Därför kännetecknas inflytelserika agenter av att de litar på andra individer med stort inflytande.

Exempel

Dessa exempel förekommer i Jackson (2008).

Konvergens av övertygelser

Ett samhälle med konvergenta övertygelser

Tänk på ett tre-individuellt samhälle med följande tillitsmatris:

T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}

Därför väger den första personen de två andras övertygelser lika, medan den andra bara lyssnar på den första, den tredje bara på den andra individen. För denna sociala tillitsstruktur finns gränsen och är lika

\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty}T^{t}\right)p( 0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)

så påverkansvektorn är $s=\left(2/5,2/5,1/5\right)$ och konsensustron är $2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3} (0)$ . Med ord, oberoende av de ursprungliga övertygelserna, når individer en konsensus där den första och den andra personens initiala övertygelse har dubbelt så högt inflytande än den tredjes.

Icke-konvergenta övertygelser

Ett samhälle med icke-konvergenta övertygelser

Om vi ändrar det föregående exemplet så att den tredje personen också lyssnar exklusivt på den första, har vi följande tillitsmatris:

T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}

I det här fallet för alla $k\geq 1$ vi har

T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix }}

och

T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\ \\end{pmatrix}}

så $\lim _{t\to \infty }T^{t}$ existerar inte och övertygelser konvergerar inte i gränsen. Intuitivt uppdateras 1 baserat på 2 och 3:s övertygelser medan 2 och 3 uppdateras enbart baserat på 1:s tro så att de byter ut sina övertygelser under varje period.

Asymptotiska egenskaper i stora samhällen: visdom

Det är möjligt att undersöka resultatet av DeGroot-inlärningsprocessen i stora samhällen, det vill säga inom gränsen n $\displaystyle n\to \infty } .$

Låt ämnet som människor har åsikter om vara ett "sant tillstånd" $\mu \in [0,1]$ . Antag att individer har oberoende brusiga signaler $p_{i}^{(0)}(n)$ av $\mu$ (nu upphöjd refererar till tid, argumentet till samhällets storlek). Antag att för alla ${\displaystyle n} är$ förtroendematrisen $T(n)$ sådan att de begränsande övertygelserna $p_{i}^{(\ infty )}(n)$ existerar oberoende av den ursprungliga övertygelsen. Sedan kallas sekvensen av samhällen $\left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }$ klokt om

\max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0

där ${\xrightarrow {\ p\ }}$ anger konvergens i sannolikhet . Det betyder att om samhället växer obundet kommer de med tiden att ha en gemensam och korrekt uppfattning om det osäkra ämnet.

En nödvändig och tillräcklig förutsättning för visdom kan ges med hjälp av influensvektorer . En sekvens av samhällen är klokt om och bara om

\lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0

det vill säga samhället är klokt just när även den mest inflytelserika individens inflytande försvinner i storsamhällets gräns. För ytterligare karaktärisering och exempel se Golub och Jackson (2010).

^ DeGroot, Morris H. 1974. ” Nå en konsensus. ” Journal of the American Statistical Association , 69(345): 118–21.
^ Franska, John RP 1956. "En formell teori om social makt" Psychological Review , 63: 181–94.
^ Harary, Frank. 1959. " A Criterion for Unanimity in French's Theory of Social Power " i Dorwin Cartwright (red.), Studies in Social Power , Ann Arbor, MI: Institute for Social Research.
^ ^a ^b Jackson, Matthew O. 2008. Sociala och ekonomiska nätverk. Princeton University Press.
^ Koley, Gaurav; Deshmukh, Jayati; Srinivasa, Srinath (2020). Aref, Samin; Bontcheva, Kalina; Braghieri, Marco; Dignum, Frank; Giannotti, Fosca; Grisolia, Francesco; Pedreschi, Dino (red.). "Socialt kapital som engagemang och övertygelse" . Samhällsinformatik . Föreläsningsanteckningar i datavetenskap. Cham: Springer International Publishing. 12467 : 137–151. doi : 10.1007/978-3-030-60975-7_11 . ISBN 978-3-030-60975-7 . S2CID 222233101 .
^ ^a ^b Golub, Benjamin & Matthew O. Jackson 2010. " Naivt lärande i sociala nätverk och visheten av folkmassa," American Economic Journal: Microeconomics, American Economic Association, vol. 2(1), sidorna 112-49, februari.

[DeGroot74-1] DeGroot, Morris H. 1974. ” Nå en konsensus. ” Journal of the American Statistical Association , 69(345): 118–21.

[French56-2] Franska, John RP 1956. "En formell teori om social makt" Psychological Review , 63: 181–94.

[Harary59-3] Harary, Frank. 1959. " A Criterion for Unanimity in French's Theory of Social Power " i Dorwin Cartwright (red.), Studies in Social Power , Ann Arbor, MI: Institute for Social Research.

[Jackson2008-4] Jackson, Matthew O. 2008. Sociala och ekonomiska nätverk. Princeton University Press.

[5] Koley, Gaurav; Deshmukh, Jayati; Srinivasa, Srinath (2020). Aref, Samin; Bontcheva, Kalina; Braghieri, Marco; Dignum, Frank; Giannotti, Fosca; Grisolia, Francesco; Pedreschi, Dino (red.). "Socialt kapital som engagemang och övertygelse" . Samhällsinformatik . Föreläsningsanteckningar i datavetenskap. Cham: Springer International Publishing. 12467 : 137–151. doi : 10.1007/978-3-030-60975-7_11 . ISBN 978-3-030-60975-7 . S2CID 222233101 .

[GolJack2010-6] Golub, Benjamin & Matthew O. Jackson 2010. " Naivt lärande i sociala nätverk och visheten av folkmassa," American Economic Journal: Microeconomics, American Economic Association, vol. 2(1), sidorna 112-49, februari.