Cunningham funktion

Inom statistik är Cunningham -funktionen eller Pearson–Cunningham-funktionen ω _{m , n} ( x ) en generalisering av en speciell funktion som introducerades av Pearson (1906) och studerades i formen här av Cunningham (1908) . Den kan definieras i termer av den konfluenta hypergeometriska funktionen U , av

$\displaystyle \omega _{m,n}(x)={\frac {e^{-x+\pi i(m/2-n)}}{\Gamma (1+nm/2)}} U(m/2-n,1+m,x).$

Funktionen studerades av Cunningham i samband med en multivariat generalisering av Edgeworth-expansionen för att approximera en sannolikhetstäthetsfunktion baserat på dess (gemensamma) moment . I ett mer generellt sammanhang är funktionen relaterad till lösningen av diffusionsekvationen med konstant koefficient , i en eller flera dimensioner.

Funktionen ω _{m , n} ( x ) är en lösning av differentialekvationen för X :

$xX''+(x+1+m)X'+(n+{\tfrac {1}{2}}m+1)X.$

Den speciella funktion som studerats av Pearson ges i hans notation av,

$\omega _{2n}(x)=\omega _{0,n}(x).$

Anteckningar

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 13" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. sid. 510. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
•    Cunningham, E. (1908), "The ω-Functions, a Class of Normal Functions Curring in Statistics", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , The Royal Society, 81 (548): 310–331, doi : 10.1098/rspa.1908.0085 , ISSN 0950-1207 , JSTOR 93061
• Pearson, Karl (1906), A matematical theory of random migration , London, Dulau och co.
•   Whittaker, ET; Watson, GN (1963), A Course in Modern Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58807-2 Se övning 10, kapitel XVI, sid. 353