Cribbage statistik

I cribbage kan sannolikheten och maximala och lägsta poängen för varje typ av hand beräknas.

Distinkta händer

Det finns 12 994 800 möjliga händer i Cribbage: 52 väljer 4 för handen, och någon av de 48 kvar som startkort.

${52 \choose 4}\times 48=12,994,800$

Ett annat, och kanske mer intuitivt sätt att se på det, är att säga att det finns 52 välj 5 olika 5-kortshänder, och vilken som helst av dessa 5 kan vara turn-up eller startkort. Därför blir beräkningen:

${52 \choose 5}\times 5=12,994,800$

1 009 008 (ungefär 7,8 %) av dessa får noll poäng, eller 1 022 208 om handen är spjälsängen, eftersom startaren måste ha samma färg som krubbans fyra kort för en färg.
Utan hänsyn till färg, det finns 14 715 unika händer.

Maxpoäng

Den högsta poängen för en hand är 29: 555J i hand med startar 5 i samma färg som knekt (8 poäng för fyra J-5 kombinationer, 8 poäng för fyra 5-5-5 kombinationer, 12 poäng för par av 5:or och en för nobben). Det finns också "Dealer's 30", (28 för 5-5-5-5 i handen och en knekt som start. Dealern skulle ta 2 för att klippa knekt...för att göra 30.)
Den näst högsta poängen är 28 (hand och startande utgör tillsammans ett tiopoängskort plus alla fyra 5:or, förutom 29-poängshanden ovan).
Den tredje högsta poängen är 24 (A7777, 33339, 36666, 44447, 44556, 44566, 45566, 67788 eller 77889); 24 är den maximala poängen för alla kortkombinationer utan en 2 eller ett tiokort, förutom ovanstående exempel med fyra 5:or.
Maxpoängen för varje hand som innehåller en 2:a är 20; antingen 22229 eller 26778 om det senare är en färg med fyra kort.
Den högsta poängen som dealer från handen och spjälsängen är 53. Startaren måste vara en 5:a, handen måste vara J555, med Jack-dressen som matchar startern (poäng 29), och spjälsängen måste vara 4466 (poäng 24), eller tvärtom.
Det högsta antalet möjliga poäng (exklusive pegging-poäng) i en omgång är 77. Dealern måste få 53 poäng, motståndaren måste sedan ha de andra 4466 som gör ytterligare en hand med 24 poäng för totalt 77.
Det högsta antalet poäng från en hand som har en potential att bli en "19 hand" är 15. Det är en krubbhand av en färg, 46J och ytterligare tio kort, med en 5:a i den färgen uppskuren. Poängen är 15 för 6, en run för 9, nobbar för 10 och en färg för 15. Vilket som helst av följande kort i en olik färg ger en "19 hand"; 2,3,7,8 och ett oparat tiokort.
De flesta poäng som kan fästas genom att spela ett kort är 15, genom att fylla ett dubbelpar kungligt på det sista kortet och göra räkningen 15: 12 för dubbelpar kungligt, 2 för de 15 och 1 för det sista kortet. Detta kan ske på två sätt i ett spel för två spelare. Den icke-dealern måste ha två kort med tio värden och två 2:or, och dealern måste ha ett kort med tio värden och 722, i vilket fall måste spelet gå: 10-10-10-go; 7-2-2-2-2. Till exempel:

Alice (återförsäljare)
Bob

Spelare	Kumulativ	Göra	Meddelat
Guppa	10		"tio"
Alice	20		"tjugo"
Guppa	30	3 poäng (kör)	"trettio"
Alice		1 poäng till Bob (30 för en)	"gå"
Alice	7		"sju"
Guppa	9		"nio"
Alice	11	2 poäng	"elva för två"
Guppa	13	6 poäng	"tretton för sex"
Alice	15	15 poäng (dubbelt par kungligt, femton, sista kortet)	"femton för femton"

Alternativt kan spelarna var och en ha två tvåor, där en också har A-4 och de andra två ess. Då kan spelet gå 4-AAA-2-2-2-2.
Det maximala antalet poäng som kan erhållas i en enda affär av dealern i ett tvåspelarspel är 78 (pegging + hand + spjälsäng): Icke-dealern delas ut 3 3 4 4 5 J och dealern delas ut 3 3 4 4 5 5. Icke-återförsäljare slänger J 5 till spjälsängen (hur illa det kan vara). Dealern kastar 5 5 till spjälsängen. Observera att J passar de återstående 5. De återstående 5 skärs. Spelet är 3 3 3 3 4 4 4 4 go. Dealern får totalt 29 peg-poäng. Dealerns hand är 3 3 4 4 5 = 20 Dealerns krubba är J(nobs) 5 5 5 5 = 29 Den totala poängen för dealern är 29 + 20 + 29 = 78. Observera att rätt spel för båda spelarna är att behåll 3 3 4 5 värda 10 poäng och kasta J 4 respektive 4 5 till spjälsängen, vilket betyder i verkligheten att denna hand aldrig skulle äga rum. En mer realistisk hand skulle vara att båda spelarna får 3 3 4 4 JJ med både kastande JJ och en 5-cut. I det här fallet, med pegging som beskrivs ovan, skulle totalpoängen vara 20 (hand) + 21 (spjälsäng) + 29 (pegging) = 70 poäng.
Det maximala antalet poäng som kan fås i en enda affär av icke-dealern i ett spel med två spelare är 48 (pegging + hand), med följande exempel: Icke-dealern får 5 5 4 4 spjälsäng och dealern är utdelats 4 4 5 9 spjälsäng spjälsäng. Klippkort är en 6. Spelet är 5 5 5 4 4 4 4, med icke-dealern pegging 24. Icke-dealern får 24 i handen för totalt 48 poäng.
Det maximala antalet poäng som kan fås med en färg med fyra kort är 21, vilket uppnås med en hand på 5 5 10 JQ eller 5 5 JQK: ett par, sex femtonor, en trekortssekvens och färgen. En spolning med fem kort på 5 10 JQK ger 18 om knekt inte är startern.

Minsta poäng

Dealern i två-spelare, 6-korts cribbage kommer alltid att pegga minst en poäng under spelet (pegging-rundan), såvida inte motståndaren vinner spelet innan peggingen är klar. Om icke-dealern kan spela vid varje tur måste dealern göra minst ett för "sista"; om inte, så får dealern minst ett för "go".
Medan 19 allmänt erkänns som "den omöjliga handen", vilket betyder att det inte finns någon kombination av 5 kort som ger en poäng på 19 poäng, är poäng på 25, 26, 27 och större än 29 också omöjliga poängsummor i handen . Ibland om en spelare får 0 poäng i sin hand kommer de att hävda att de har en "19-poängshand".

Minimum när du håller en 5

Om en spelare har en 5:a i handen är den spelaren garanterad minst två poäng, som visas nedan:

En 0-poängshand måste ha fem distinkta kort utan att bilda en run eller en femton kombination. Om en sådan hand innehåller en 5:a kan den inte hålla en 10:a eller ett klätt kort. Det kan inte heller inkludera både ett A och en 9; både en 2 och en 8; både en 3 och en 7; eller både en 4:a och en 6:a. Eftersom det behövs ytterligare fyra kort måste exakt ett tas från var och en av dessa set. Låt oss gå igenom de möjliga valen:

Om handen inkluderar en 9:a kan den inte hålla en 6:a, så den måste hålla en 4:a. Om den har både en 4:a och en 9:a kan den inte hålla en 2:a, så den måste hålla en 8:a. Håller både en 4:a och en 8:a kan inte hålla en 3, så den måste hålla en 7. Men nu innehåller handen en 7-8 femton, vilket är en motsägelse.
Därför måste handen innehålla ett A.
- Om handen innehåller en 7:a kan den nu inte innehålla en 8:a, eftersom det skulle bilda en 7-8 femton. Den kan dock inte hålla en 2, eftersom det skulle bilda en 7-5-2-A femton. Detta är en motsägelse.
- Därför måste handen innehålla en 3. Antingen en 2 eller en 4 skulle fullborda en körning, så handen måste därför innehålla en 6 och en 8. Men detta bildar nu en 8-6-A femton, vilket är en motsägelse.

Därför har varje uppsättning av fem kort inklusive en 5:a ett par, en run eller en femton, och därmed minst två poäng.

Intressant nog kan en hand med två 5:or också få minst två poäng; ett exempel är 2 5 5 7 9, vilket med största sannolikhet skulle vara en spjälsängshand, och skulle inte få en färg på grund av paret, även om denna hand kan vara en fyrkortsfärg utan spjälsäng om endera 5:an är startpunkten. En hand med tre 5:or ger minst åtta poäng; en hand med alla fyra 5:orna ger 20 poäng och förbättras endast med en 10, J, Q eller K (som ger 28 förutom den 29 hand som beskrivits tidigare.)

Det är också sant att om du håller både en 2:a och en 3:a, eller en A och en 4:a (kortpar som summerar upp till fem) garanterar du en poäng som inte är noll:

Om en hand innehåller både en 2 och en 3 och ska få 0 poäng, kan den inte ha ett klätt kort, ett A, en 4 eller en 5. Detta kräver tre kort från 6, 7, 8 och 9, och ett sådant urval kommer att omfatta en femton.
Om en hand innehåller både ett A och en 4:a och ska få 0 poäng, kan den inte ha ett klätt kort eller en 5:a. Den kan inte heller ha både 2 och 3; både en 6 och en 9; eller både en 7 och en 8. Om handen innehåller en 2:a kan den inte ha en 9:a (9-4-2 femton). Den måste alltså ha en 6. Den kan då inte ha en 8 (8-4-2-A femton) eller en 7 (7-6-2 femton). Om handen däremot innehåller en 3:a, kan den inte inkludera en 8 (8-4-3 femton) eller en 7:a (7-4-3-A femton). Dessa är alla motsägelser, så varje hand som innehåller både A och 4 ger minst två poäng.

Odds

Tabellen nedan förutsätter att kortet/korten som slängs till spjälsängen är slumpmässigt valda. Givet detta antagande är oddsen för att få en 28-hand i ett tvåspelaresspel cirka 1 på 170984, och en perfekt 29-hand 1 på 3,248,700.

Men om vi antar att spelaren alltid kommer att behålla J555 om dessa kort ingår i handen, är oddsen för att få en perfekt 29-hand som börjar med en sexkortshand 1 på 216 580, medan oddsen efter att ha kastats från en fem-kortshand. korthanden är 1 på 649 740.

Poängfördelning, förutsatt att slumpmässig(a) kastas till spjälsängen

Göra	Antal händer (av 12 994 800)	Andel händer	Minst lika hög andel händer
0	1 009 008	7,7647	100
1	99,792	0,7679	92,2353
2	2,813,796	21,6532	91,4674
3	505 008	3,8862	69,8142
4	2,855,676	21,9755	65,928
5	697 508	5,3676	43,9525
6	1 800 268	13,8538	38,5849
7	751,324	5,7817	24,7311
8	1,137,236	8,7515	18,9494
9	361,224	2,7798	10.1979
10	388,740	2,9915	7,4181
11	51 680	0,3977	4,4266
12	317,340	2,4421	4,0289
13	19 656	0,1513	1,5868
14	90 100	0,6934	1,4355
15	9,168	0,0706	0,7421
16	58,248	0,4482	0,6715
17	11 196	0,0862	0,2233
18	2,708	0,0208	0,1371
19	0	0	0,1163
20	8 068	0,0621	0,1163
21	2,496	0,0192	0,0542
22	444	0,0034	0,0350
23	356	0,0027	0,0316
24	3,680	0,0283	0,0289
25	0	0	0,0006
26	0	0	0,0006
27	0	0	0,0006
28	76	0,0006	0,0006
29	4	0,00003	0,00003

Medelvärde = 4,7692
Standardavvikelse = 3,1254
Skevhet = 0,9039
Överskott av kurtosis = 1,4599

Observera att denna statistik inte återspeglar frekvensen av förekomst i 5- eller 6-kortsspel. För 6-kortsspel är medelvärdet för icke-dealer 7,8580 med standardavvikelse 3,7996, och för dealer är 7,7981 respektive 3,9082. Medlen är högre eftersom spelaren kan välja de fyra korten som maximerar deras poänginnehav. För 5-kortsspel är medelvärdet cirka 5,4.

Lite olika poängregler gäller i spjälsängen - endast 5-poängsspolningar räknas, med andra ord måste du spola alla kort inklusive turn-up och inte bara korten i spjälsängen. På grund av detta observeras en något annorlunda fördelning:

Poängfördelning (endast spjälsäng/boxhänder)

Göra	Antal händer (+/- förändring från distribution utan spjälsäng) (av 12 994 800)	Andel händer	Minst lika hög andel händer
0	1 022 208 (+13 200)	7,8663	100
1	99 792 (0)	0,7679	92,1337
2	2 839 800 (+26 004)	21,8534	91,3658
3	508 908 (+3 900)	3,9162	69,5124
4	2 868 960 (+13 284)	22,0778	65,5962
5	703 496 (+5 988)	5,4137	43,5184
6	1 787 176 (-13 092)	13,7530	38,1047
7	755 320 (+3 996)	5,8125	24,3517
8	1 118 336 (-18 900)	8,6060	18,5393
9	358 368 (-2 856)	2,7578	9,9332
10	378 240 (-10 500)	2,9107	7,1755
11	43 880 (-7 800)	0,3377	4,2648
12	310 956 (-6 384)	2,3929	3,9271
13	16 548 (-3 108)	0,1273	1,5342
14	88 132 (-1 968)	0,6782	1,4068
15	9 072 (-96)	0,0698	0,7286
16	57 288 (-960)	0,4409	0,6588
17	11 196 (0)	0,0862	0,2179
18	2 264 (-444)	0,0174	0,1318
19	0 (0)	0	0,1144
20	7 828 (-240)	0,0602	0,1144
21	2 472 (-24)	0,0190	0,0541
22	444 (0)	0,0034	0,0351
23	356 (0)	0,0027	0,0317
24	3 680 (0)	0,0283	0,0289
25	0 (0)	0	0,0006
26	0 (0)	0	0,0006
27	0 (0)	0	0,0006
28	76 (0)	0,0006	0,0006
29	4 (0)	0,00003	0,00003

Medelvärde = 4,7348

Som ovan återspeglar inte denna statistik den sanna fördelningen i 5 eller 6 korts spel, eftersom både dealern och icke-dealern kommer att slänga taktiskt för att maximera eller minimera möjliga poäng i spjälsängen/lådan.

Kortkombinationer

En hand med fyra ess (AAAA) är den enda kombinationen av kort där inget vändkort kommer att lägga till poäng till poängen.
Det finns 71 distinkta kombinationer av kortvärden som lägger till 15:

Två kort	Tre kort			Fyra kort				Fem kort
X 5 96 87	X 4A X 32 95A 942 933	86A 852 843 77A 762	753 744 663 654 555	X 3AA X 22A 94AA 932A 9222 85AA	842A 833A 8322 76AA 752A 743A	7422 7332 662A 653A 6522 644A	6432 6333 554A 5532 5442 5433 4443	X 2AAA 93AAA 922AA 84AAA 832AA 8222A 75AAA	742AA 733AA 7322A 72222 66AAA 652AA 643AA	6422A 6332A 63222 553AA 5522A 544AA 5432A	54222 5333A 53322 4442A 4433A 44322 43332
Obs: " X " indikerar ett kort med tio poäng: 10, J, Q eller K

Statistik för hand och spjälsäng

Om både handen och krubban betraktas som en summa (och båda dras slumpmässigt, snarare än utformade med strategi som är realistiskt i en verklig spelmiljö) finns det 2 317 817 502 000 (2,3 biljoner) 9-kortskombinationer. ${52 \choose 4}\times {48 \choose 4}\times 44=2,317,817,502,000$

Som nämnts ovan är den högsta poängen en dealer kan få med både hand och spjälsäng 53.
Den enda poängsumman mellan 0 och 53 som inte är möjlig är 51.

Poängfördelning

Göra	Antal handspjälsängspar (av 2 317 817 502 000)	Andel hand-spjälsängspar till 6 decimaler	Andel hand-spjälsängspar minst lika hög
0	14,485,964,652	0,624983	100
1	3,051,673,908	0,131662	99,375017
2	80,817,415,668	3,486789	99,243356
3	23,841,719,688	1,028628	95,756566
4	190,673,505,252	8,226424	94,727938
5	70,259,798,952	3,031291	86.501514
6	272,593,879,188	11,7608	83.470222
7	121,216,281,624	5,22976	71,709422
8	290,363,331,432	12,527446	66,479663
9	151,373,250,780	6,530853	53,952217
10	254,052,348,948	10,960843	47.421364
11	141,184,445,960	6,091267	36.460521
12	189,253,151,324	8,165145	30.369254
13	98,997,926,340	4,27117	22.204109
14	127,164,095,564	5,486372	17,932939
15	59,538,803,512	2,568744	12.446567
16	77,975,659,056	3,364185	9,877823
17	32,518,272,336	1,402969	6,513638
18	42 557 293 000	1,836093	5,110669
19	17,654,681,828	0,761694	3,274576
20	22,185,433,540	0,957169	2,512881
21	8,921,801,484	0,384923	1,555712
22	10,221,882,860	0,441013	1,17079
23	4,016,457,976	0,173286	0,729776
24	5,274,255,192	0,227553	0,55649
25	1,810,154,696	0,078097	0,328938
26	2,305,738,180	0,099479	0,25084
27	750,132,024	0,032364	0,151361
28	1,215,878,408	0,052458	0,118998
29	401,018,276	0,017302	0,06654
30	475,531,940	0,020516	0,049238
31	184,802,724	0,007973	0,028722
32	233,229,784	0,010062	0,020749
33	82 033 028	0,003539	0,010686
34	71,371,352	0,003079	0,007147
35	19,022,588	0,000821	0,004068
36	44,459,120	0,001918	0,003247
37	9,562,040	0,000413	0,001329
38	10,129,244	0,000437	0,000916
39	1,633,612	0,00007	0,000479
40	5,976,164	0,000258	0,000409
41	1,517,428	0,000065	0,000151
42	600 992	0,000026	0,000085
43	127,616	0,000006	0,00006
44	832,724	0,000036	0,000054
45	222,220	0,00001	0,000018
46	42,560	0,000002	0,000009
47	24,352	0,000001	0,000007
48	119,704	0,000005	0,000006
49	6,168	0	0
50	384	0	0
51	0	0	0
52	4 320	0	0
53	288	0	0

Medelvärde : 9,50397
Median : 9
Läge : 8

Se även

Cribbage (regler)