Cramérs teorem (stora avvikelser)

Cramérs teorem är ett grundläggande resultat i teorin om stora avvikelser, en subdisciplin av sannolikhetsteorin . Den bestämmer hastighetsfunktionen för en serie av iid slumpvariabler . En svag version av detta resultat visades först av Harald Cramér 1938.

Påstående

Den logaritmiska momentgenererande funktionen (som är den kumulantgenererande funktionen) för en slumpvariabel definieras som:

$\Lambda (t)=\log \operatörsnamn {E} [\exp(tX_{1})].$

Låt $X_{1},X_{2},\dots$ vara en sekvens av iid reella slumpvariabler med finit logaritmisk momentgenererande funktion, t.ex. $\ Lambda (t)<\infty$ för alla $t\in \mathbb {R}$ .

Sedan Legendre-transformen av $\Lambda$ :

$\Lambda ^{*}(x):=\sup _{t\in \mathbb {R} }\left( tx-\Lambda (t)\right)$

tillfredsställer,

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{ n}}\log \left(P\left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}\geq nx\right)\right)=-\Lambda ^{*}(x)$

för alla $x>\operatörsnamn {E} [X_{1}].$

I terminologin för teorin om stora avvikelser kan resultatet omformuleras enligt följande:

Om ${2},\dots }$$\left({\mathcal {L}}({\tfrac {1}{n}}\summa _{i=1}^{n}X_{i})\right)_{n\ i \mathbb {N} }$ är en serie av iid slumpvariabler, då fördelningarna uppfyller en stor avvikelseprincip med hastighetsfunktionen $\Lambda ^{*}$ .

•   Klenke, Achim (2008). Sannolikhetsteori . Berlin: Springer. s. 508 . doi : 10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN 978-1-84800-047-6 .
• "Cramér theorem" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]