Coxeters loxodromic sekvens av tangentcirklar

Blå cirkel 0 tangerar cirklarna 1, 2 och 3, såväl som till föregående cirklar −1, −2 och −3.

Inom geometri är Coxeters loxodromic sekvens av tangentcirklar en oändlig sekvens av cirklar ordnade så att alla fyra på varandra följande cirklar i sekvensen är parvis ömsesidigt tangentiella . Det betyder att varje cirkel i sekvensen tangerar de tre cirklarna som föregår den och även till de tre cirklarna som följer den.

Egenskaper

Cirklarnas radier i sekvensen bildar en geometrisk progression med förhållande

$$k=\varphi +{\sqrt {\varphi }}\approx 2,89005\ ,$$

där $\varphi$ är det gyllene snittet . Detta förhållande $k$ och dess reciproka uppfyller ekvationen

$$(1+x+x^{2}+x^{3})^{2 }=2(1+x^{2}+x^{4}+x^{6})\ ,$$

och så alla fyra på varandra följande cirklar i sekvensen uppfyller villkoren för Descartes sats .

Cirklarnas centrum i sekvensen ligger på en logaritmisk spiral . Sett från spiralens mitt är vinkeln mellan mitten av på varandra följande cirklar

$$\cos ^{-1}\left({\frac {-1}{\varphi }}\right)\approx 128.173^{\circ }\ .$$

Vinkeln mellan på varandra följande trippel av centra är

$$\theta =\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ },$$

samma som en av vinklarna i Keplertriangeln , en rätvinklig triangel vars konstruktion också involverar kvadratroten av det gyllene snittet.

Historia och därmed sammanhängande konstruktioner

Konstruktionen är uppkallad efter geometern HSM Coxeter , som generaliserade det tvådimensionella fallet till sekvenser av sfärer och hypersfärer i högre dimensioner. Det kan tolkas som ett degenererat specialfall av Doylespiralen .

Se även

• Apollonsk packning

externa länkar

• Weisstein, Eric W. , "Coxeter's Loxodromic Sequence of Tangent Circles" , MathWorld