Cox sats

Cox sats , uppkallad efter fysikern Richard Threlkeld Cox , är en härledning av sannolikhetsteorins lagar från en viss uppsättning postulat . Denna härledning motiverar den så kallade "logiska" tolkningen av sannolikhet, eftersom sannolikhetslagarna som härleds av Cox teorem är tillämpliga på alla påståenden. Logisk (även känd som objektiv Bayesiansk) sannolikhet är en typ av Bayesiansk sannolikhet . Andra former av Bayesianism, som den subjektiva tolkningen, ges andra motiveringar.

Cox antaganden

Cox ville att hans system skulle uppfylla följande villkor:

1. Delbarhet och jämförbarhet – Sannolikheten för en proposition är ett reellt tal och är beroende av information vi har relaterat till propositionen.
2. Sunt förnuft – Plausibiliteter bör variera förnuftigt med bedömningen av plausibiliteter i modellen.
3. Konsistens – Om rimligheten för ett förslag kan härledas på många sätt måste alla resultat vara lika.

De här angivna postulaten är hämtade från Arnborg och Sjödin. " Sunt förnuft " inkluderar överensstämmelse med aristotelisk logik i den meningen att logiskt ekvivalenta satser ska ha samma rimlighet.

Postulaten som ursprungligen angavs av Cox var inte matematiskt rigorösa (även om mer så än den informella beskrivningen ovan), som noterats av Halpern . Det verkar dock vara möjligt att utöka dem med olika matematiska antaganden som gjorts antingen implicit eller explicit av Cox för att producera ett giltigt bevis.

Cox notation:

Sannolikheten för en proposition $A$ givet viss relaterad information $X$ betecknas med $A\mid X$ .

Cox postulat och funktionella ekvationer är:

• Sannolikheten för konjunktionen $AB$ för två propositioner $A$ , $B$ , givet viss relaterad information $X$ , bestäms av sannolikheten för $A$ givet $X$ och det för $B$ givet $AX$ .

I form av en funktionell ekvation

$AB\mid X=g(A\mid X,B\mid AX)$

På grund av den associativa karaktären hos konjunktion i propositionell logik ger överensstämmelsen med logik en funktionell ekvation som säger att funktionen $g$ är en associativ binär operation.

• Dessutom postulerar Cox att funktionen $g$ är monoton .

Alla strikt ökande associativa binära operationer på de reella talen är isomorfa till multiplikation av tal i ett delintervall av [0, +∞] , vilket betyder att det finns en monoton funktion $w$ som avbildar sannolikheter till [0, +∞] så att

$w(AB\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid AX)$

• I fall $A$ givet $X$ är säker, vi har $AB\mid X=B\mid X$ och ${ \displaystyle B\mid AX=B\mid X}$ på grund av kravet på konsistens. Den allmänna ekvationen leder sedan till

$w(B\mid X)=w(A\mid X)w(B\mid X)$

Detta gäller för varje proposition $B$ , vilket leder till

$w(A\mid X)=1$

• I fallet $A$ ges ${\ displaystyle X}$ är omöjligt, vi har $AB\mid X=A\mid X$ och $A\mid BX=A\mid X$ på grund av kravet på konsekvens. Den allmänna ekvationen (med A- och B-faktorerna omkopplade) leder sedan till

$w(A\mid X)=w(B\mid X)w(A\mid X)$

Detta ska gälla för varje proposition ${\displaystyle B} ,$ som utan förlust av allmänhet leder till en lösning

$w(A\mid X )=0$

På grund av kravet på monotonitet betyder detta att $w$ mappar rimligheter till intervall [0, 1] .

• Sannolikheten för en proposition avgör sannolikheten för propositionens negation .

Detta postulerar existensen av en funktion $f$ så att

$w({\text{not }}A\mid X)= f(w(A\mid X))$

Eftersom "ett dubbelnegativt är ett jakande", ger överensstämmelse med logik en funktionell ekvation

$f(f(x))=x ,$

som säger att funktionen $f$ är en involution , dvs den är sin egen invers.

• Vidare postulerar Cox att funktionen $f$ är monoton.

Ovanstående funktionella ekvationer och överensstämmelse med logik innebär att

${\displaystyle w(AB\mid X)=w(A\mid X)f(w({\text{inte }}B\mid AX))=w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ inte }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)} Eftersom$

A $\displaystyle AB}$ är logiskt ekvivalent med $BA$ , vi får också

${\displaystyle w(A\mid X)f\left({w(A{\text{ inte }}B\mid X) \over w(A\mid X)}\right)= w(B\mid X)f\left({w(B{\text{ not }}A\mid X) \over w(B\mid X)}\right)} Om i$

synnerhet $B={\text{ not }}(AD)$ , sedan även $A{\text{ not }}B={\text{not }}B$ och $B{\text{ inte }}A={\text{ inte }}A$ och vi får

$w(A{\text{ not }}B\mid X)=w({\text{not }}B\mid X)=f(w(B\mid X) ))$

och

$w(B{\text{ not }}A\mid X)=w ({\text{inte }}A\mid X)=f(w(A\mid X))$

Förkortning $w(A\mid X)=x$ och $w(B\mid X)=y$ vi får den funktionella ekvationen

$x\,f \left({f(y) \över x}\right)=y\,f\left({f(x) \över y}\höger)$

Implikationer av Cox postulat

Sannolikhetslagarna som kan härledas från dessa postulat är följande. Låt $A\mid B$ vara rimligheten för påståendet $A$ givet $B$ som uppfyller Cox' postulat. Sedan finns det en funktion $w$ som mappar sannolikheter till intervall [0,1] och ett positivt tal $m$ så att

1. Säkerhet representeras av $w(A\mid B)=1.$
2. $w^{m}(A|B)+w^{m}({\text{inte }}A\mid B )=1.$
3. $w(AB\mid C)=w(A\mid C)w(B\mid AC)=w(B\mid C)w(A\mid BC).$

Det är viktigt att notera att postulaten endast antyder dessa allmänna egenskaper. Vi kan återställa de vanliga sannolikhetslagarna genom att ställa in en ny funktion, konventionellt betecknad $P$ eller $\Pr$ , lika med $w^{m}$ . Sedan får vi sannolikhetslagarna i en mer välbekant form:

1. Viss sanning representeras av $\Pr(A\mid B)=1$ , och viss falskhet av $\Pr(A\mid B)=0.$
2. $\Pr(A\mid B)+\Pr({\text{not }}A\mid B)=1.$
3. $\Pr(AB\mid C)=\Pr(A\mid C)\Pr(B\mid AC)=\Pr(B\mid C)\Pr(A\mid BC).$

Regel 2 är en regel för negation, och regel 3 är en regel för konjunktion. Med tanke på att alla propositioner som innehåller konjunktion, disjunktion och negation kan omformuleras på samma sätt med enbart konjunktion och negation ( konjunktiv normalform ) , kan vi nu hantera vilken sammansatt proposition som helst.

De sålunda härledda lagarna ger finit sannolikhetsadditivitet, men inte räknebar additivitet . Den måttteoretiska formuleringen av Kolmogorov antar att ett sannolikhetsmått är uträkneligt additivt. Detta något starkare villkor är nödvändigt för att bevisa vissa satser.

Tolkning och vidare diskussion

Coxs teorem har kommit att användas som en av motiveringarna för användningen av Bayesiansk sannolikhetsteori . Till exempel i Jaynes diskuteras det i detalj i kapitel 1 och 2 och är en hörnsten för resten av boken. Sannolikhet tolkas som ett formellt logiksystem , den naturliga förlängningen av aristotelisk logik (där varje påstående är antingen sant eller falskt) till resonemangsområdet i närvaro av osäkerhet.

Det har diskuterats i vilken grad satsen utesluter alternativa modeller för resonemang om osäkerhet . Till exempel, om vissa "ointuitiva" matematiska antaganden släpptes, skulle alternativ kunna utarbetas, t.ex. ett exempel från Halpern. Arnborg och Sjödin föreslår dock ytterligare "sunt förnuft"-postulat, som skulle göra det möjligt att lätta på antagandena i vissa fall samtidigt som Halpern-exemplet utesluts. Andra tillvägagångssätt utarbetades av Hardy eller Dupré och Tipler.

Den ursprungliga formuleringen av Cox's teorem finns i Cox (1946) , som utökas med ytterligare resultat och mer diskussion i Cox (1961) . Jaynes citerar Abel för den första kända användningen av den funktionella associativitetsekvationen. János Aczél ger ett långt bevis på "associativitetsekvationen" (sidorna 256-267). Jaynes återger det kortare beviset av Cox där differentiabilitet antas. En guide till Cox's teorem av Van Horn syftar till att på ett omfattande sätt introducera läsaren till alla dessa referenser.

Se även

• Sannolikhetsaxiom
• Sannolikhetslogik

Vidare läsning

•   Fine, Terrence L. (1973). Sannolikhetsteorier: En undersökning av fundament . New York: Academic Press. ISBN 0-12-256450-2 .
•   Smith, C. Ray; Erickson, Gary (1989). "Från rationalitet och konsistens till Bayesiansk sannolikhet". I Skilling, John (red.). Maximal entropi och Bayesianska metoder . Dordrecht: Kluwer. s. 29–44. doi : 10.1007/978-94-015-7860-8_2 . ISBN 0-7923-0224-9 .