Clohessy–Wiltshire ekvationer

Clohessy –Wiltshire-ekvationerna beskriver en förenklad modell av relativ rörelse i omloppsbanan, där målet befinner sig i en cirkulär bana och rymdfarkosten är i en elliptisk eller cirkulär bana. Denna modell ger en första ordningens approximation av jagarens rörelse i ett målcentrerat koordinatsystem. Det är mycket användbart för att planera mötet mellan jagaren och målet.

$${\begin{aligned}{\ddot {x}}&=3n^{2} x+2n{\dot {y}}\\{\ddot {y}}&=-2n{\dot {x}}\\{\ddot {z}}&=-n^{2}z\end {Justerat}}$$

där $n={\sqrt {\mu /a^{3}}}$ är omloppshastigheten ( $2\pi$ /period) för målkroppen, $a$ är radien för målkroppens cirkulära bana, $\mu$ är standardgravitationsparametern , $x$ är radiellt utåt från målkroppen, $y$ är längs omloppsspåret för målkroppen, och $z$ är längs den orbitala vinkelmomentvektorn för målkroppen (dvs. $x,y,z$ bildar en högerhänt triad) .

Som illustration, i låg jordomloppsbana $\mu =3,986\ gånger 10^{14}\;m^{3}/s^{2}$ och $a=6,793,137\;m$ , vilket innebär $n=0,00113\;s^{-1}$ , motsvarande en omloppsperiod på cirka 93 minuter.

Lösning

Vi kan erhålla slutna lösningar av dessa kopplade differentialekvationer i matrisform, vilket gör att vi kan hitta positionen och hastigheten för chasern när som helst givet den initiala positionen och hastigheten.

$${\begin{aligned}\delta {\vec {r}}(t)&=[\Phi _{rr}(t)]\delta {\vec { r_{0}}}+[\Phi _{rv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\\\delta {\vec {v}}(t)&=[\Phi _ {vr}(t)]\delta {\vec {r_{0}}}+[\Phi _{vv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\end{aligned}}$$

var:

$${\begin{aligned}\Phi _{rr}(t)&={\begin{bmatrix}4-3\cos {nt}&0&0\\6(\sin {nt}-nt)&1&0\ \0&0&\cos {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{rv}(t)&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}\sin {nt}&{\ frac {2}{n}}(1-\cos {nt})&0\\{\frac {2}{n}}(\cos {nt}-1)&{\frac {1}{n}} (4\sin {nt}-3nt)&0\\0&0&{\frac {1}{n}}\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vr}(t)&={\ börja{bmatrix}3n\sin {nt}&0&0\\6n(\cos {nt}-1)&0&0\\0&0&-n\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vv}(t )&={\begin{bmatrix}\cos {nt}&2\sin {nt}&0\\-2\sin {nt}&4\cos {nt}-3&0\\0&0&\cos {nt}\end{bmatrix }}\end{aligned}}$$

Observera att $\Phi _{vr}(t)={\dot {\Phi }}_{rr}(t)$ och $\Phi _{vv}(t)={\dot {\Phi }}_{rv}(t)$ . Eftersom dessa matriser är lätta att invertera , kan vi också lösa de initiala förhållandena givet endast de slutliga förhållandena och egenskaperna för målfordonets omloppsbana.

Se även

• Orbital manöver
• Orbital mekanik
• Rymden möte

Vidare läsning

•   Prussing, John E. och Conway, Bruce A. (2012). Orbital Mechanics (2nd Edition), Oxford University Press, NY, s. 179–196. ISBN 9780199837700

externa länkar

• Clohessy-Wiltshires ekvationer av relativ rörelse
• DERIVERING AV UNGÄRLIGA EKVATIONER FÖR LÖSNING AV DET PLANAR RENDEZVO-PROBLEMET