Cirkulär lag

I sannolikhetsteorin , närmare bestämt studiet av slumpmässiga matriser , gäller den cirkulära lagen fördelningen av egenvärden för en n × n slumpmatris med oberoende och identiskt fördelade poster i gränsen n → ∞ .

Den hävdar att för varje sekvens av slumpmässiga n × n matriser vars poster är oberoende och identiskt fördelade slumpvariabler, alla med medelvärde noll och varians lika med 1/ n , är den begränsande spektrala fördelningen den enhetliga fördelningen över enhetsskivan.

Plotta de reella och imaginära delarna (skalade med sqrt(1000)) av egenvärdena för en 1000x1000 matris med oberoende, standardnormala poster.

Exakt uttalande

Låt $(X_{n})_{n=1}^{\infty }$ vara en sekvens av n × n matrisensembler vars poster är iid- kopior av en komplex slumpvariabel x med medelvärde 0 och varians 1. Låt $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},1\leq j\leq n$ beteckna egenvärdena för $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n$ } . Definiera det empiriska spektralmåttet för $\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}$ som

$\mu _{{\frac {1}{\sqrt {n}}}X_{n}}(A)=n^{-1}\#\{j\leq n:\lambda _{j }\in A\}~,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {C} ).$

Med dessa definitioner i åtanke, hävdar den cirkulära lagen att nästan säkert (dvs. med sannolikhet en), sekvensen av åtgärder $\displaystyle \mu _{{\frac {1}{\sqrt {n} }}X_{n}}$ konvergerar i distribution till det enhetliga måttet på enhetsskivan.

Historia

För slumpmässiga matriser med Gaussisk fördelning av poster ( Ginibre-ensemblerna ) upprättades den cirkulära lagen på 1960-talet av Jean Ginibre . På 1980-talet introducerade Vyacheslav Girko ett tillvägagångssätt som gjorde det möjligt att upprätta den cirkulära lagen för mer allmänna distributioner. Ytterligare framsteg gjordes av Zhidong Bai, som fastställde den cirkulära lagen under vissa antaganden om smidighet i distributionen.

Antagandena mildrades ytterligare i verken av Terence Tao och Van H. Vu , Guangming Pan och Wang Zhou, och Friedrich Götze och Alexander Tikhomirov. Slutligen, 2010 bevisade Tao och Vu den cirkulära lagen under de minimala antaganden som anges ovan.

Det cirkulära lagresultatet utvidgades 1988 av Sommers, Crisanti, Sompolinsky och Stein till en elliptisk lag för ensembler av matriser med godtyckliga korrelationer. De elliptiska och cirkulära lagarna generaliserades ytterligare av Aceituno, Rogers och Schomerus till hypotrochoidlagen som inkluderar korrelationer av högre ordning.

Se även

• Wigner halvcirkelfördelning