Chebyshev–Markov–Stieltjes ojämlikheter

I matematisk analys är Chebyshev -Markov-Stieltjes- ojämlikheterna ojämlikheter relaterade till problemet med ögonblick som formulerades på 1880-talet av Pafnuty Chebyshev och bevisades oberoende av Andrey Markov och (något senare) av Thomas Jan Stieltjes . Informellt ger de skarpa gränser för ett mått uppifrån och underifrån när det gäller dess första ögonblick .

Formulering

₀ Givet m ,..., m _{2 m -1} ∈ R , betrakta samlingen C av åtgärder μ på R så att

$\int x^{k}d\mu (x)=m_{k}$

för k = 0,1,...,2 m − 1 (och i synnerhet integralen är definierad och ändlig).

₀₀₀ Låt P , P ₁ , ..., P _m vara de första m + 1 ortogonala polynomen med avseende på μ ∈ C , och låt ξ ₁ ,... ξ _m vara nollorna till P _m . Det är inte svårt att se att polynomen P , P ₁ , ..., P _{m -1} och talen ξ ₁ ,... ξ _m är desamma för varje μ ∈ C , och därför bestäms unikt av m , ... , m2m _{- 1 .}

Beteckna

$\rho _{m-1}(z)=1{\Big /}\summa _{k=0}^{m-1}|P_{k}(z)|^{2}$ .

Sats För j = 1,2,..., m , och vilken som helst μ ∈ C ,

$\mu (-\inft \xi _{j}]\leq \rho _{m-1}(\xi _{1})+\cdots +\rho _{m-1}(\xi _{j})\leq \mu ( -\infty ,\xi _{j+1}).$