Carnots sats (vinkelräta)

Carnots sats: om tre perpendikulära sidor på triangelns sidor skär varandra i en gemensam punkt F, då blått område = rött område

Carnots sats (uppkallad efter Lazare Carnot ) beskriver ett nödvändigt och tillräckligt villkor för tre linjer som är vinkelräta mot de (förlängda) sidorna av en triangel som har en gemensam skärningspunkt. Satsen kan också ses som en generalisering av Pythagoras sats .

Sats

För en triangel $\triangle ABC$ med sidorna $a,b,c$ betrakta tre linjer som är vinkelräta mot triangelns sidor och skär i en gemensam punkt $F$ . Om $P_{a},P_{b},P_{c}$ är pedalpunkterna för dessa tre vinkelräta på sidorna $a,b, c$ , då gäller följande ekvation:

|AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_ {a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}

Motsatsen till påståendet ovan är också sant, det vill säga om ekvationen gäller för pedalpunkterna för tre vinkelräta på de tre triangelsidorna så skärs de i en gemensam punkt. Därför ger ekvationen ett nödvändigt och tillräckligt villkor.

Speciella fall

Om triangeln $\triangle ABC$ har en rät vinkel i $C$ , då kan vi konstruera tre vinkelräta sidor på sidorna som skär varandra i $F=A$ : sida $b$ , linjen vinkelrät mot $b$ och som går genom $A$ , och linjen vinkelrät mot $c$ och går genom $A$ . Då har vi $P_{a}=C$ , $P_{b}=A$ och $P_{c}=A$ och därmed $|AP_{b}|=0$ , $|AP_{c}|=0$ , $|CP_{a}|=0$ , $|CP_{b}|=b$ , $|BP_{a}|=a$ och $|BP_{c}|=c$ . Ekvationen för Carnots sats ger då Pythagoras sats $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

En annan följd är egenskapen hos vinkelräta halveringslinjer i en triangel att skära i en gemensam punkt. I fallet med vinkelräta bisektrar har du $|AP_{c}|=|BP_{c}|$ , $|BP_{a}|=|CP_{a}|$ och $|CP_{b}|=|AP_{b}|$ och därför gäller ekvationen ovan. vilket betyder att alla tre vinkelräta bisektrar skär i samma punkt.

Wohlgemuth, Martin., red. (2010). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet (på tyska). Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. s. 273–276. ISBN 9783827426079 . OCLC 699828882 .
Alfred S. Posamentier ; Charles T. Salkind (1996). Utmanande problem i geometri . New York: Dover. s. 85–86. ISBN 9780486134864 . OCLC 829151719 .

externa länkar

Florian Modler: Vergessene Sätze am Dreieck - Der Satz von Carnot på matheplanet.com (tyska)
Carnots teorem på cut-the-knot.org