Carmichaels sats

I talteorin anger Carmichaels sats , uppkallad efter den amerikanske matematikern R. D. Carmichael , att för varje icke degenererad Lucas-sekvens av det första slaget U _n ( P , Q ) med relativt primparametrar P , Q och positiv diskriminant, ett element U _n med n ≠ 1, 2, 6 har minst en primtalsdelare som inte delar någon tidigare förutom det 12:e Fibonaccitalet F(12) = U ₁₂ (1, −1) = 144 och dess ekvivalent U ₁₂ (−1, − 1) = -144.

Speciellt för n större än 12 har det n: te Fibonaccitalet F( n ) minst en primtal divisor som inte delar något tidigare Fibonaccital.

Carmichael (1913, sats 21) bevisade denna sats . Nyligen gav Yabuta (2001) ett enkelt bevis.

Påstående

Givet två relativt primtal heltal P och Q , så att $D=P^{2}-4Q>0$ och $PQ \neq 0$ , låt $U n (P, Q)$ vara Lucas sekvens av det första slaget som definieras av

{\begin{aligned}U_{0}(P,Q)&=0,\\U_{1}(P,Q)&=1,\\U_{n}(P, Q)&=P\cdot U_{n-1}(P,Q)-Q\cdot U_{n-2}(P,Q)\qquad {\mbox{ for }}n>1.\end{aligned }}

Sedan, för n ≠ 1, 2, 6, har U _n ( P , Q ) minst en primtalsdelare som inte delar någon U _m ( P , Q ) med m < n , förutom U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U ₁₂ (−1, −1) = −F(12) = −144. Ett sådant primtal p kallas en karakteristisk faktor eller en primitiv primtalsdelare av U _n ( P , Q ). Faktum är att Carmichael visade ett något starkare teorem: För n ≠ 1, 2, 6 har U _n ( P , Q ) minst en primitiv primtalsdelare som inte delar D förutom U ₃ (1, −2) = U ₃ (−1) , −2) = 3, U ₅ (1, −1) = U ₅ (−1, −1) = F(5) = 5, U ₁₂ (1, −1) = F(12) = 144, U ₁₂ (−1, −1) = −F(12) = −144.

Observera att D bör vara större än 0; sålunda ingår inte fallen U ₁₃ (1, 2), U ₁₈ (1, 2) och U _{30 (1, 2) etc, eftersom} D = −7 < 0 i detta fall.

Fibonacci och Pell fall

De enda undantagen i Fibonacci-fallet för n upp till 12 är:

F(1) = 1 och F(2) = 1, som inte har några primtalsdelare

F(6) = 8, vars enda primtalsdelare är 2 (vilket är F(3))

F(12) = 144, vars enda primtal divisorer är 2 (vilket är F(3)) och 3 (som är F(4))

Den minsta primitiva primtalsdelaren för F( n ) är

1, 1, 2, 3, 5, 1, 13, 7, 17, 11, 89, 1, 233, 29, 61, 47, 1597, 19, 37, 41, 421, 199, 28657, 01, 3, 3, 521, 53, 281, 514229, 31, 557, 2207, 19801, 3571, 141961, 107, 73, 9349, 135721, 2161, 2789, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419, 3419. (sekvens A001578 i OEIS )

Carmichaels teorem säger att varje Fibonacci-tal, förutom undantagen som anges ovan, har minst en primitiv primtalsdelare.

Om n > 1, så har det n: te Pell-talet minst en primtalsdelare som inte delar något tidigare Pell-tal. Den minsta primitiva primtalsdelaren för n :e Pell-talet är

1, 2, 5, 3, 29, 7, 13, 17, 197, 41, 5741, 11, 33461, 239, 269, 577, 137, 199, 37, 19, 45697, 5, 91, 5, 91, 5, 91, 79, 53, 113, 44560482149, 31, 61, 665857, 52734529, 103, 1800193921, 73, 593, 9369319, 389, 52 A 4 (sekvens A 4 , 256 )

Se även

Zsigmondys sats

Carmichael, RD (1913), "On the numerical factors of the aritmetic forms α ⁿ ±β ⁿ ", Annals of Mathematics , 15 (1/4): 30–70, doi : 10.2307/1967797 .7 STOR 797 .