Bosanquets ekvation

I teorin om kapilläritet är Bosanquet-ekvationen en förbättrad modifiering av den enklare Lucas–Washburn-teorin för rörelsen av en vätska i ett tunt kapillärrör eller ett poröst material som kan approximeras som en stor samling kapillärer. I Lucas–Washburn-modellen tröghet , vilket leder till antagandet att flödet är kontinuerligt under konstant viskösa laminära Poiseuille-flödesförhållanden utan att beakta effekterna av masstransport som genomgår acceleration som inträffar i början av flödet och vid punkter där det interna förändras. kapillär geometri. Bosanquet-ekvationen är en differentialekvation som är andra ordningens i tidsderivatan, liknande Newtons andra lag , och därför tar hänsyn till vätsketrögheten. Rörelseekvationer, som Washburns ekvation, som försöker förklara en hastighet (istället för acceleration) som proportionell mot en drivkraft beskrivs ofta med termen aristotelisk mekanik .

Definition

När du använder beteckningen $\eta$ för dynamisk viskositet, $\theta$ för kontaktvinkeln vätska-fast, $\gamma$ för ytspänning , $\rho$ för vätskedensitet, t för tid och r för kapillärens tvärsnittsradie och x för avståndet vätskan har avancerat, är Bosanquets rörelseekvation

{\frac {d}{dt}}\left(\pi r^{2}\rho x{\frac {dx}{dt}}\right)+8\pi \eta x{\frac {dx}{dt}}=2\pi r\gamma \cos \theta ,

förutsatt att rörelsen är fullständigt driven av ytspänning, utan pålagt tryck i någon ände av kapillärröret.

Lösning

Lösningen av Bosanquet-ekvationen kan delas upp i två tidsskalor, först för att ta hänsyn till vätskans initiala rörelse genom att betrakta en lösning inom tidsgränsen som närmar sig 0, vilket ger formen

x^{2}(t)-x^{2}(0)={ \frac {2b}{a}}\left[t-{\frac {1}{a}}(1-e^{-at})\right]

var

a={\frac {8\eta }{\rho r^{2}}}

och

b={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho r}}.

För tillståndet kort tid visar detta en meniskens främre position proportionell mot tiden snarare än Lucas-Washburns kvadratrot av tid, och viskositetens oberoende visar pluggflöde.

När tiden ökar efter den initiala tiden för acceleration sönderfaller ekvationen till den välbekanta Lucas-Washburn-formen beroende på viskositet och kvadratroten av tiden.

Se även