Bondareva–Shapleys sats

Bondareva –Shapleys sats , i spelteorin , beskriver ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att kärnan i ett kooperativt spel inte är tom i karaktäristisk funktionsform. Specifikt är spelets kärna icke-tom om och endast om spelet är balanserat . Bondareva–Shapleys sats antyder att marknadsspel och konvexa spel har icke-tomma kärnor. Teoremet formulerades oberoende av Olga Bondareva och Lloyd Shapley på 1960-talet.

Sats

Låt paret $\langle N,v\rangle$ vara ett samarbetsspel i karaktäristisk funktionsform, där $N$ är mängden spelare och där värdefunktionen $v:2^{N}\to \mathbb {R}$ definieras på ${\displaystyle N}:$ s effektmängd (mängden av alla delmängder av $N$ ).

Kärnan i $\langle N,v\rangle$ är icke-tom om och endast om för varje funktion $\alpha :2 ^{N}\setminus \{\emptyset \}\to [0,1]$ där $\forall i\in N :\sum _{S\in 2^{N}:\;i\in S}\alpha (S)=1$ följande villkor gäller:

$\sum _{S\in 2^{N}\setminus \{\emptyset \}}\alpha (S)v(S)\leq v(N).$

• Bondareva, Olga N. (1963). "Några tillämpningar av linjära programmeringsmetoder till teorin om kooperativa spel (på ryska)" ( PDF) . Problem med Kybernetiki . 10 : 119–139.
•   Kannai, Y (1992), "The core and balancedness", i Aumann, Robert J. ; Hart, Sergiu (red.), Handbook of Game Theory with Economic Applications, Volym I. , Amsterdam: Elsevier, s. 355–395, ISBN 978-0-444-88098-7
• Shapley, Lloyd S. (1967). "På balanserade set och kärnor". Naval Research Logistics Quarterly . 14 (4): 453–460. doi : 10.1002/nav.3800140404 . hdl : 10338.dmlcz/135729 .