Bihari–LaSalle ojämlikhet

Bihari –LaSalle bevisades av den amerikanske matematikern Joseph P. LaSalle (1916–1983) 1949 och av den ungerske matematikern Imre Bihari (1915–1998) 1956. Det är följande olinjära generalisering av Grönwalls lemma .

Låt u och ƒ vara icke-negativa kontinuerliga funktioner definierade på den halvoändliga strålen [0, ∞), och låt w vara en kontinuerlig icke-minskande funktion definierad på [0, ∞) och w ( u ) > 0 på (0 , ∞). Om du uppfyller följande integral ojämlikhet ,

$u(t)\leq \alpha +\int _{0}^{ t}f(s)\,w(u(s))\,ds,\qquad t\in [0,\infty ),$

där α är en icke-negativ konstant , alltså

$u(t)\leq G^{-1}\left(G (\alpha )+\int _{0}^{t}\,f(s)\,ds\right),\qquad t\in [0,T],$

där funktionen G definieras av

$G(x)=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {dy}{w (y)}},\qquad x\geq 0,\,x_{0}>0,$

och G ⁻¹ är den inversa funktionen av G och T väljs så att

$G(\alpha )+\int _{0}^{t}\,f(s)\,ds\in \operatörsnamn {Dom} (G^{-1}),\qquad \forall \, t\i [0,T].$