Bernoullis triangel

Härledning av Bernoullis triangel (blå fet text) från Pascals triangel (rosa kursiv stil)

Bernoullis triangel är en samling partialsummor av binomialkoefficienterna . För alla icke-negativa heltal n och för alla heltal k som ingår mellan 0 och n , ges komponenten i rad n och kolumn k av:

$\sum _{p=0}^{k}{n \choose p},$

of n +1 ordered partitions form compositionsn +1 into  +1 Eftersom antalet sammansättningar av n <a i=2>+1 <a i=3>till k +1 <a i=6>ordnade triangel, bildar antalet <a i=9>sammansättningar +1 <a i=11><a i=12>till eller <a i=14>färre ordnade

dvs summan av de första k n: te ordningens binomialkoefficienter. De första raderna i Bernoullis triangel är:

$array}{cc|cccccc}&k&0&41&\\\ n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}}$

På samma sätt som Pascals triangel är varje komponent i Bernoullis triangel summan av två komponenter i föregående rad, förutom det sista numret i varje rad, vilket är dubbelt det sista numret i föregående rad. Till exempel, om $B_{n,k}$ anger komponenten i rad n och kolumn k , då:

$B_{ n,k}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{if } }k<n\\2B_{n-1,k-1}=2^{n}&{\mbox{if }}k=n\end{cases}}$

Sekvenser härledda från Bernoulli-triangeln

Sekvenser från On-Line Encyclopedia of Integer Sequences i Bernoullis triangel

Som i Pascals triangel och andra liknande konstruerade trianglar, resulterar summor av komponenter längs diagonala banor i Bernoullis triangel i Fibonacci-talen .

Eftersom den tredje kolumnen i Bernoullis triangel ( k = 2) är ett triangulärt tal plus ett, bildar den den lata caterarens sekvens för n snitt, där n ≥ 2. Den fjärde kolumnen ( k = 3) är den tredimensionella analogen, känd som tårtans nummer , för n snitt, där n ≥ 3.

Den femte kolumnen ( k = 4) ger det maximala antalet regioner i problemet med att dela en cirkel i områden för n + 1 punkter, där n ≥ 4.

I allmänhet ger ( k + 1):e kolumnen det maximala antalet regioner i k -dimensionellt utrymme som bildas av n − 1 ( k − 1)-dimensionella hyperplan , för n ≥ k . Det ger också antalet kompositioner (ordnade partitioner) av n + 1 till k + 1 eller färre delar.

externa länkar

• Talsekvensen som bildas av Bernoullis triangel på On-Line Encyclopedia of Integer Sequences : https://oeis.org/A008949 .