Bel–Robinson tensor

I allmän relativitetsteori och differentialgeometri är Bel-Robinson-tensoren en tensor som definieras i den abstrakta indexnotationen av:

$T_{abcd}=C_{aecf }C_{b}{}^{e}{}_{d}{}^{f}+{\frac {1}{4}}\epsilon _{ae}{}^{hi}\epsilon _{ b}{}^{ej}{}_{k}C_{hicf}C_{j}{}^{k}{}_{d}{}^{f}$

Alternativt

$T_{abcd}=C_{aecf}C_{b} {}^{e}{}_{d}{}^{f}-{\frac {3}{2}}g_{a[b}C_{jk]cf}C^{jk}{}_{ d}{}^{f}$

där $C_{abcd}$ är Weyl-tensoren . Den introducerades av Lluís Bel 1959. Bel– Robinson- tensorn är konstruerad från Weyl-tensoren på ett sätt som är analogt med hur den elektromagnetiska spännings-energitensorn är uppbyggd från den elektromagnetiska tensorn . Liksom den elektromagnetiska spännings-energitensorn är Bel-Robinson-tensoren helt symmetrisk och spårlös:

${\begin{aligned}T_{abcd}&=T_{(abcd)}\\T^{a}{}_}_ {acd}&=0\end{aligned}}$

I allmän relativitetsteori finns det ingen unik definition av den lokala energin i gravitationsfältet. Bel–Robinson-tensorn är en möjlig definition för lokal energi, eftersom det kan visas att närhelst Ricci-tensorn försvinner (dvs. i vakuum), så är Bel–Robinson-tensoren divergensfri:

$\nabla ^{a}T_{abcd}=0$