Basexpansionstid-frekvensanalys

Linjära expansioner i en enda bas, oavsett om det är en Fourier-serie , wavelet eller någon annan bas, är inte tillräckligt lämpliga. En Fourier-bas gav en dålig representation av funktioner väl lokaliserade i tid, och wavelet-baser är inte väl anpassade för att representera funktioner vars Fourier-transformer har ett smalt högfrekvent stöd. I båda fallen är det svårt att upptäcka och identifiera signalmönstren från deras expansionskoefficienter, eftersom informationen späds ut över hela basen. Därför måste vi använda stora mängder Fourier-bas eller Wavelets för att representera hela signalen med litet approximationsfel. Vissa matchningsförsöksalgoritmer föreslås i referensdokument för att minimera approximationsfel när de ges mängden bas.

Egenskaper

För Fourier-serien

$x(t)\approx \sum _{m=1}^{M}a_{m}\cdot e^ {j2\pi mt/T}$

$a_{m}=\int _{0}^{T}x(t )e^{-j2\pi mt/T}\,\mathrm {d} t$

Vissa tids-frekvensanalyser är också försök att representera signal enligt formuläret nedan

$x(t)\approx \sum _{m=1}^{M}a_{m}\cdot \varphi _{m }(t)$

när mängden bas M ges, minimera approximationsfelet i medelkvadratbemärkelse

${\text{approximationsfel}}=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)-\summa _{m=1}^{M}a_{m} \cdot \varphi _{m}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t$

Exempel

Atomer med tre parametrar

$x(t)\approx \summa a_{t_{0},f_{0},\sigma }\cdot \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)$

$\varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)={\frac {2^{0.25}}{\sigma ^{0.5}}}e^{j2\ pi f_{0}t-\pi (t-t_{0})^{2}/\sigma ^{2}}$

Eftersom $\varphi _{t_{0},f_{0},\sigma }(t)\quad$ inte är ortogonala, $\ quad a_{t_{0},f_{0},\sigma }\quad$ bör bestämmas av en matchande jaktprocess .

Tre parametrar:

$t_{0}$ styr den centrala tiden.

$f_{0}$ styr centralfrekvensen.

$\sigma$ styr skalningsfaktorn.

Fyrparameters atomer (chirplet)

$x(t)\approx \summa a_{t_{0},f_{0},\ sigma ,\eta }\cdot \varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }(t)$

$\varphi _{t_{0},f_{0},\sigma ,\eta }(t)={ \frac {2^{0.25}}{\sigma ^{0.5}}}e^{j2\pi (f_{0}t+\eta /2t^{2})-\pi (t-t_{0}) ^{2}/\sigma ^{2}}$

Fyra parametrar:

$t_{0}$ styr centraltiden

$f_{0}$ styr centralfrekvensen

$\sigma$ styr skalningsfaktorn

$\eta$ styr chirp-frekvensen

Korttids Fouriertransform av olika grund

• SG Mallat och Z. Zhang, "Matching pursuits with time-frequency dictionaries," IEEE Trans. Signal Process., vol. 41, nr. 12, s. 3397–3415, december 1993.
• A. Bultan, "En fyra-parameter atomär nedbrytning av chirplets," IEEE Trans. Signal Process., vol. 47, nr. 3, s. 731–745, mars 1999.
• C. Capus och K. Brown. "Short-time fraktionella Fourier-metoder för tids-frekvensrepresentation av chirp-signaler," J. Acoust. Soc. Am. vol. 113, nummer 6, s. 3253–3263, 2003.
• Jian-Jiun Ding, klassanteckning för tidsfrekvensanalys och wavelettransform, Institutionen för elektroteknik, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2016