Bandkorrigering (mätning)

Vid mätning avser tejpkorrektion (er ) korrigerande mätningar för effekten av lutningsvinkel, expansion eller kontraktion på grund av temperatur, och bandets häng, som varierar med den applicerade spänningen . Att inte korrigera för dessa effekter ger upphov till systematiska fel , dvs effekter som verkar på ett förutsägbart sätt och därför kan korrigeras med matematiska metoder.

Korrigering på grund av lutning

$\theta$ är vinkeln mellan lutningslinjen och den horisontella linjen, s är lutningsavståndet uppmätt mellan två punkter på lutningslinjen, h är höjden på lutningen.

$C_{v}=2L*sin^{2}+{\frac {A}{2}}$

Var

L= Lutande längd uppmätt A= Lutande vinkel

När avstånd mäts längs lutningen kan det ekvivalenta horisontella avståndet bestämmas genom att tillämpa en lutningskorrigering.

Den vertikala lutningsvinkeln för den uppmätta längden måste mätas. (Se bilden på andra sidan) Alltså,

• För svaga sluttningar, $m<20\%$

$C_{h}={\frac {h^{2}}{2s}}$

• För branta backar , $20\%\leq m\leq 30\%$

$C_{h}={\frac {h^ {2}}{2s}}+{\frac {h^{4}}{8s^{3}}}$

• För mycket branta sluttningar, $m>30\%$

$C_{h}=s(1-\cos \theta )$ ,

Eller, enklare, $d=s*\cos \theta$

Var:

$C_{h}$ är korrigeringen av uppmätt lutningsavstånd på grund av lutning;

$\theta$ är vinkeln mellan den uppmätta lutningslinjen och den horisontella linjen;

s är det uppmätta lutningsavståndet.

d är det horisontella avståndet.

Korrigeringen $C_{h}$ subtraheras från $s$ för att erhålla det ekvivalenta horisontella avståndet på lutningslinjen:

$d=s-C_{h}$

Korrigering på grund av temperatur

Vid mätning eller utläggning av avstånd är standardtemperaturen på tejpen och tejpens temperatur vid tidpunkten för mätningen vanligtvis olika. En skillnad i temperatur kommer att göra att tejpen förlängs eller förkortas, så mätningen som tas blir inte exakt korrekt. En korrigering kan tillämpas på den uppmätta längden för att få rätt längd.

Korrigeringen av bandlängden på grund av temperaturförändringar ges av:

$C_{t}=C\cdot L(T_{m}-T_{s})$

Var:

$C_{t}$ är korrigeringen som ska tillämpas på bandet på grund av temperatur;

C är värmeutvidgningskoefficienten för metallen som bildar tejpen;

L är längden på bandet eller längden på linjen uppmätt.

$T_{m}$ är den observerade temperaturen på bandet vid tidpunkten för mätningen;

$T_{s}$ är standardtemperaturen, när tejpen har rätt längd, ofta 20 °C;

Korrigeringen $C_{t}$ läggs till $L$ för att erhålla det korrigerade avståndet:

$d=L+C_{t}$

För vanliga bandmätningar är bandet som används ett stålband med värmeutvidgningskoefficient C lika med 0.000.011,6 enheter per längdenhet per grad Celsius förändring. Detta innebär att tejpen ändrar längd med 1,16 mm per 10 m tejp per 10 °C förändring från standardtemperaturen på tejpen. För en 30 meter lång tejp med standardtemperatur på 20 °C som används vid 40 °C är längdförändringen 7 mm över tejpens längd.

Korrigering på grund av häng

En tejp som inte stöds längs sin längd kommer att sjunka och bilda en kontaktledning mellan ändstöden. Enligt avsnittet om spänningskorrigering är vissa tejper kalibrerade för att hänga vid standardspänning. Dessa band kommer att kräva komplexa sänk- och spänningskorrigeringar om de används vid icke-standardiserade spänningar. Korrigeringen på grund av häng måste beräknas separat för varje ostödd sträcka separat och ges av:

$C_{s}={\frac {{\omega }^{2}L^{3}}{24P^{2}}}$

Var:

$C_{s}$ är den korrigering som tillämpas på bandet på grund av häng; meter;

$\omega$ är vikten av bandet per längdenhet; newton per meter;

L är längden mellan de två ändarna av kontaktledningen; meter;

P är spänningen eller dragningen som appliceras på tejpen; newton.

Ett band som hålls i kontaktledningen kommer att registrera ett värde som är större än det korrekta måttet. Således subtraheras korrigeringen ${\displaystyle C_{s}} från$$L$ för att erhålla det korrigerade avståndet:

$d=L-C_{s}$

Observera att bandets vikt per längdenhet är lika med bandets vikt dividerat med bandets längd:

$\omega ={\frac {W}{L}}$

alltså: $W=\omega L$

Därför kan vi skriva om formeln för korrigering på grund av häng som:

$C_{s}={\frac {W^{2}L}{24P^{2}}}$

Härledning (sag)

Den allmänna formeln för en kontaktledning bildad av en tejp som endast stöds i dess ändar är

$y={\frac {P}{\omega g}}\cosh \left({\frac {x\omega g}{P}}\right )$ .

Här är $g$ gravitationsaccelerationen. Båglängden mellan två stödpunkter vid $x=-k/2$ och $x=+k/2$ hittas med vanliga metoder via integration:

$L=\int _{-k/2}^{+k/2}{\sqrt {1+ \left(dy/dx\right)^{2}}}\,dx$

För enkelhetens skull ställ in $a={\frac {P}{\omega g}}$ . Integranden förenklas enligt följande med hjälp av hyperboliska funktionsidentiteter :

${\ sqrt {1+\left(dy/dx\right)^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\left(a\cosh \left({\ frac {x}{a}}\right)\right)\right)^{2}}}={\sqrt {1+\sinh ^{2}\left({\frac {x}{a}}\ höger)}}=\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)$

Bandlängden $L$ hittas sedan genom att integrera:

$L=\int _{-k/2}^{+k/2}\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)dx=\left[a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\right]_{x=-k/2}^{x=+k/2}=\left(2a\right)\sinh \left( {\frac {k}{2a}}\right)$

Nu är korrigeringen för tape sag skillnaden mellan den faktiska spännvidden mellan stöden, $k$ , och båglängden på bandets kontaktledning, $L$ . Kalla denna korrigering $\delta =kL$ . Det absoluta värdet av denna $\delta$ -korrigering är $C_{s}$ ovan, mängden du skulle subtrahera från bandmätningen för att få det sanna spanavståndet.

En Taylor-serieexpansion av $\delta$ i termer av kvantiteten $L$ är önskvärd för att ge en bra första approximation av korrigeringen. Faktum är att den första icke-försvinnande termen i Taylor-serien är kubisk i $L$ , och nästa icke-försvinnande term är i femte potensen av L; därför är en serieexpansion för $\delta$ rimlig. För detta ändamål måste vi hitta ett uttryck för $\delta$ som innehåller $L$ men inte $k$ . Vi har redan ett uttryck för $L$ i termer av $k$ , men behöver nu hitta den inversa funktionen (för $k$ i termer av $L$ ):

${\frac {L}{2a}}=\sinh \left({\frac {k}{2a}}\right)$

$\sinh ^{-1}\left({\frac {L}{2a}}\right)={\frac {k}{2a}}$

$k=\left(2a\right)\sinh ^{-1}\left({\frac {L}{2a}}\right)$

$\delta =kL=\left(2a\right)\sinh ^{-1}\left({\frac {L}{2a }}\right)-L$

Att utvärdera $\delta$ vid $L=0$ ger noll, så det finns ingen nollordningsterm i Taylor-serien. Den första derivatan av denna funktion med avseende på L är

${\frac {d\delta }{dL}}={\frac {1}{\sqrt {{\frac {L^{2} }{4a^{2}}}+1}}}-1$ .

Utvärderad till L=0, försvinner den och bidrar därför inte med en Taylor-serieterm. Den andra derivatan av $\delta$ är

${\frac {d^{2}\delta }{{dL}^{2}}}= -{\frac {L}{4a^{2}\left({\frac {L^{2}}{4a^{2}}}+1\höger)^{3/2}}}$ .

Återigen, när den utvärderas vid L=0 försvinner den. När den utvärderas till L=0, överlever emellertid den tredje derivatan.

${\frac {d^{3}\delta }{{dL}^{3 }}}=-{\frac {\left(8a^{3}-4{\text{aL}}^{2}\right)}{\left(4a^{2}+L^{2}\ höger)^{5/2}}}$

Således är den första överlevande termen i Taylor-serien:

$\delta \cong \left[{\frac {d^{3}\delta }{ {dL}^{3}}}\right]_{L=0}{\frac {L^{3}}{3!}}=-{\frac {1}{4a^{2}}}{ \frac {L^{3}}{6}}={\frac {-L^{3}}{24a^{2}}}={\frac {-L^{3}\omega ^{2} g^{2}}{24P^{2}}}$

Lägg märke till att variabeln $P$ här är spänningen på kabeln, medan ${\displaystyle P} ovan$ är massan vars gravitationskraft (massa gånger gravitationsacceleration) är lika med spänningen på kabeln. Den enda omvandlingen som krävs då är att ta $P/g$ här och likställa det med $P$ ovan. Den här formeln är också korrigeringen av tejpbågen som ska läggas till det uppmätta avståndet, så det negativa tecknet framför kan tas bort och korrigeringen av tejpbågen kan göras istället genom att subtrahera det absoluta värdet som gjordes i föregående avsnitt.

Korrigering på grund av spänning

Vissa band är redan kalibrerade för att ta hänsyn till sänkningen vid en standardspänning. I detta fall uppstår fel när tejpen dras med en spänning som skiljer sig från standardspänningen som används vid standardisering. Tejpen dras mindre än sin standardlängd när en spänning mindre än standardspänningen appliceras, vilket gör tejpen för lång.

En tejp sträcker sig på ett elastiskt sätt tills den når sin elastiska gräns , då den kommer att deformeras permanent och förstöra tejpen.

Korrigeringen på grund av spänning ges av:

$C_{p}={\frac {(P_{m}-P_{s})L}{AE}}$

Var:

$C_{p}$ är förlängningen i bandlängden på grund av drag; eller korrigeringen som ska tillämpas på grund av applicering av en spänning som skiljer sig från standardspänningen; meter;

$P_{m}$ är spänningen som appliceras på tejpen under mätningen; newton;

$P_{s}$ är standardspänningen, när tejpen har rätt längd, ofta 50 newton; newton;

L är den uppmätta eller felaktiga längden på linjen; meter

A är tejpens tvärsnittsarea; kvadratcentimeter;

E är elasticitetsmodulen för tejpmaterialet; newton per kvadratcentimeter;

Korrigeringen $C_{p}$ läggs till $L$ för att erhålla det korrigerade avståndet:

$d=L+C_{p}$

Värdet för A ges av:

$A={\frac {W}{(L)(U_{w})}}$

Var:

W är den totala vikten av bandet; kilogram;

$U_{w}$ är bandets viktenhet; kilogram per kubikcentimeter.

För stålband är värdet för $U_{w}$$7,866\ gånger 10^{-3}kg/cm^{3}$ .

Korrigering på grund av felaktig tejplängd

Tillverkare av måttband garanterar vanligtvis inte den exakta längden på banden, och standardisering är en process där en standardtemperatur och -spänning bestäms vid vilken bandet har den exakta längden. Den nominella längden på banden kan påverkas av fysiska brister, sträckning eller slitage. Konstant användning av tejp orsakar slitage, tejper kan bli knäckta och kan repareras felaktigt när brott uppstår.

Korrigeringen på grund av bandlängden ges av:

$C_{L}=Corr\times M_{L}$

Var:

C _L är den korrigerade längden på den linje som ska mätas eller läggas ut;

M _L är den uppmätta längden eller längden som ska läggas ut;

N _L är den nominella längden på tejpen enligt dess märke;

K _L är en känd längd;

Corr är förhållandet mellan uppmätt och verklig längd ${\displaystyle {\frac {M_{L}}{K_{L}}}} ,$ bestämt genom att mäta en känd längd.

I USA kommer vissa band med United States Bureau of Standards- certifieringar som fastställer den korrigering som behövs per 100' band.

Observera att felaktig tejplängd introducerar ett systematiskt fel som måste kalibreras med jämna mellanrum.

Se även

• Lokal attraktion

Mestadels i pdf :

•   La Putt, Juny (2008). Elementary Surveying (3:e uppl.). Mandaluyong : National Bookstore . ISBN 971-08-5581-6 . Ursprungligen publicerad av Baguio Research and Publishing Center, Baguio , Filippinerna 1981.
• "Tapningskorrigeringar" (PDF) . Ferris State University .
• Burch, Robert. "Tape correction" (PDF) . Ferris State University .
• Snelgrove, Ken (2007-09-24). "Taping Distance Errors Quantified" (PDF) . University of British Columbia .
• "Information till examinerade som deltar i grunderna för lantmäteriprov" ( PDF) .