Balans av rörelsemängd

Lekplats merry-go-round

Vridmomentets balans eller Eulers andra lag i klassisk mekanik är en fysiklag som säger att ett vridmoment måste appliceras på den för att ändra rörelsemängden hos en kropp .

Ett exempel på användning är lekplatsens karusell på bilden. För att sätta den i rotation måste den skjutas. Tekniskt sett framkallar man ett vridmoment som matar vinkelmomentum till karusellen. Vridmomentet för friktionskrafterna i lagret och motståndet skapar dock ett resistivt vridmoment som gradvis kommer att minska vinkelmomentet och så småningom stoppa rotationen.

Den matematiska formuleringen säger att förändringshastigheten ${\dot {\vec {L}}}_{c}$ av rörelsemängd ${\vec {L}}_{ c}$ om en punkt ${\vec {c}}$ , är lika med summan av de externa vridmomenten ${\vec {M}}_{c}$ som verkar på det kropp om den punkten:

${\vec {M}}_{c}={\dot {\vec {L}}}_{c}$

Punkten ${\vec {c}}$ är en fast punkt i ett tröghetssystem eller kroppens masscentrum . I det speciella fallet, när externa vridmoment försvinner, visar det att vinkelmomentet bevaras. D' Alembert-kraften som motverkar förändringen av rörelsemängd visar sig som en gyroskopisk effekt .

Från balansen av rörelsemängd följer likheten mellan motsvarande skjuvspänningar eller symmetrin hos Cauchy-spänningstensorn . Detsamma följer av Boltzmann Axiom , enligt vilket inre krafter i ett kontinuum är vridmomentfria. Sålunda är balansen mellan vinkelmomentum, symmetrin hos Cauchy-spänningstensorn och Boltzmann-axiomet i kontinuummekaniken relaterade termer.

Speciellt i teorin om toppen spelar balansen av rörelsemängd en avgörande roll. I kontinuummekaniken tjänar det till att exakt bestämma den skevningssymmetriska delen av spänningstensorn.

Balansen av rörelsemängd är, förutom de Newtonska lagarna , en grundläggande och oberoende princip och introducerades som sådan först av den schweiziske matematikern och fysikern Leonhard Euler 1775.

Historia

Den schweiziske matematikern Jakob I Bernoulli tillämpade rörelsemängdsbalansen 1703 – utan att uttryckligen formulera den – för att hitta svängningscentrum för en pendel, vilket han redan hade gjort på ett första, något felaktigt sätt 1686. Vågrörelsens rörelsemängdsbalans alltså föregick Newtons lagar, som först publicerades 1687.

År 1744 var Euler den första som använde principerna för rörelsemängd och rörelsemängd för att ange rörelseekvationerna för ett system. År 1750 publicerade han i sin avhandling "Upptäckt av en ny mekanikprincip" Eulers ekvationer för stel kroppsdynamik, som idag härrör från balansen mellan vinkelmomentum, som Euler dock kunde härleda för den stela kroppen från Newtons andra lag . Efter studier av planelastisk kontinua, som är oumbärliga för balansen av vridmomenten, höjde Euler balansen av vinkelmoment till en oberoende princip för beräkning av kropparnas rörelser 1775.

År 1822 introducerade den franske matematikern Augustin-Louis Cauchy spänningstensorn vars symmetri i kombination med balansen mellan linjär rörelsemängd säkerställde uppfyllelsen av rörelsemängdsbalansen i det allmänna fallet med den deformerbara kroppen. Tolkningen ${\vec {M}}={\dot {\vec {L}}}$ av balansen mellan rörelsemängdsrörelsen noterades första gången av MP Saint-Guilhem 1851.

Rotationskinetik

Kinetiken handlar om tillstånd som inte är i mekanisk jämvikt. Enligt Newtons andra lag leder en yttre kraft till en förändring av en kropps hastighet ( acceleration ). Analogt betyder ett externt vridmoment en förändring av vinkelhastigheten som resulterar i en vinkelacceleration . Trögheten i samband med rotation beror inte bara på massan av en kropp utan också på dess rumsliga fördelning. Med en stel kropp uttrycks detta av tröghetsmomentet . Vid en rotation runt en fast axel är vridmomentet proportionellt mot vinkelaccelerationen med tröghetsmomentet som proportionalitetsfaktor . Här är det att notera att tröghetsmomentet inte bara är beroende av rotationsaxelns position (se Steinersatsen ) utan också av dess riktning. Om ovanstående lag formuleras mer generellt för någon rotationsaxel tröghetstensorn användas.

Med det tvådimensionella specialfallet resulterar ett vridmoment endast i en acceleration eller nedbromsning av en rotation. Med det allmänna tredimensionella fallet kan det emellertid också ändra axelns riktning ( precession ).

Formuleringar

I stel kroppsdynamik leder balansen av rörelsemängd till Eulers ekvationer .
Inom kontinuummekaniken leder balansen av rörelsemängd till Cauchys andra rörelselag , som anger symmetrin hos Cauchys spänningstensor. Boltzmann Axiom har samma konsekvens.

Boltzmann Axiom

Spänningar på ett volymelement (blått) med bredd dx och höjd dy (visas inte)

1905 påpekade den österrikiska fysikern Ludwig Boltzmann att med reduktion av en kropp till oändligt mycket mindre volymelement måste de inre reaktionerna uppfylla alla statiska villkor för mekanisk jämvikt . Cauchys spänningsteorem hanterar jämvikten i termer av kraft. För det analoga uttalandet i termer av vridmoment, myntade den tyske matematikern Georg Hamel namnet Boltzmann Axiom .

Detta axiom är ekvivalent med symmetrin hos Cauchy-spänningstensorn. Eftersom resultatet av spänningarna inte utövar ett vridmoment på volymelementet måste den resulterande kraften leda genom volymelementets centrum. Verkningslinjen för tröghetskrafterna och de normala spänningsresultanterna σ _xx ·dy och σ _yy ·dx leder genom volymelementets centrum. För att skjuvspänningsresultanterna τ _xy ·dy och τ _yx ·dx ska leda genom volymelementets centrum

{\frac {\tau _{xy}\mathrm {d} y}{\tau _{yx} \mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\quad \rightarrow \quad \tau _{yx}=\tau _{xy}

måste hålla. Detta är faktiskt påståendet om likheten mellan motsvarande skjuvspänningar i xy-planet .

Cosserat Continuum

Utöver det vridmomentfria klassiska kontinuumet med en symmetrisk spänningstensor har även cosserat continua (polär kontinuum) som inte är vridmomentfria definierats. En tillämpning av ett sådant kontinuum är teorin om skal . Cosserat continua kan inte bara transportera ett momentumflöde utan också ett vinkelmomentumflöde. Därför kan det också finnas källor till momentum och vinkelmomentum inuti kroppen. Här gäller inte Boltzmann Axiom och spänningstensorn kan vara skevsymmetrisk.

Om dessa flöden behandlas som vanligt inom kontinuummekaniken uppstår fältekvationer där den skevsymmetriska delen av spänningstensorn inte har någon energetisk betydelse. Vinkelmomentbalansen blir oberoende av energibalansen och används för att bestämma den skevsymmetriska delen av spänningstensorn. Den amerikanske matematikern Clifford Truesdell såg i detta den "sanna grundläggande betydelsen av Eulers andra lag".

Områdesregel

Området (olivgrönt) som svepas av helljuset

{\vec {r}}(t)

(AB→AC) ändras till en triangel när Δ t blir oändligt liten

Arearegeln är en följd av rörelsemängdslagen i formen: Det resulterande momentet är lika med produkten av två gånger massan och tidsderivatan av ythastigheten .

Det hänvisar till strålen ${\vec {r}}$ till en punktmassa med massan m . Denna har rörelsemängden med hastigheten ${\dot {\vec {r}}}$ och rörelsemängden ${\vec {p}}=m{\ punkt {\vec {r}}}$

{\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}=m{\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=m{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}/ \mathrm {d} t

.

I den oändliga tiden d t sveper banan över en triangel vars innehåll är ${\displaystyle \mathrm {d} {\vec {A}}={\tfrac {1}{ 2}}{\vec {r}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}} ,$ se bild, ythastighet och korsprodukt "×" . Så här blir det: