Axe–Grothendiecks sats
Inom matematiken är Ax-Grothendieck-satsen ett resultat om polynoms injektivitet och surjektivitet som bevisades oberoende av James Axe och Alexander Grothendieck .
Satsen ges ofta som detta specialfall: Om P är en injektiv polynomfunktion från ett n -dimensionellt komplext vektorrum till sig självt så är P bijektiv . Det vill säga , om P alltid mappar distinkta argument till distinkta värden, så täcker värdena av P hela Cn .
Den fullständiga satsen generaliserar till vilken algebraisk variant som helst över ett algebraiskt slutet fält .
Bevis via ändliga fält
Grothendiecks bevis för satsen bygger på att bevisa den analoga satsen för finita fält och deras algebraiska stängningar . Det vill säga för vilket fält F som helst som i sig är ändligt eller som är stängningen av ett ändligt fält, om ett polynom P från F n till sig självt är injektivt så är det bijektivt.
Om F är ett ändligt fält så är F n ändligt. I det här fallet är satsen sann av triviala skäl som inte har något att göra med representationen av funktionen som ett polynom: varje injektion av en finit mängd till sig själv är en bijektion. När F är den algebraiska stängningen av ett ändligt fält, följer resultatet av Hilberts Nullstellensatz . Ax-Grothendieck-satsen för komplexa tal kan därför bevisas genom att visa att ett motexempel över C skulle översättas till ett motexempel i någon algebraisk förlängning av ett ändligt fält.
Denna bevismetod är anmärkningsvärd eftersom den är ett exempel på idén att finitistiska algebraiska relationer i fält med karakteristik 0 översätts till algebraiska relationer över finita fält med stor karaktäristik. Således kan man använda aritmetiken för finita fält för att bevisa ett påstående om C även om det inte finns någon homomorfism från något finita fält till C . Beviset använder alltså modellteoretiska principer som kompaktitetssatsen för att bevisa ett elementärt påstående om polynom. Beviset för det allmänna fallet använder en liknande metod.
Andra bevis
Det finns andra bevis för satsen. Armand Borel gav ett bevis med topologi. Fallet med n = 1 och fältet C följer eftersom C är algebraiskt stängt och kan också ses som ett specialfall av resultatet att för varje analytisk funktion f på C innebär injektivitet av f surjektivitet av f . Detta är en följd av Picards teorem .
Relaterade resultat
Ett annat exempel på att reducera satser om morfismer av finit typ till finita fält kan hittas i EGA IV : Där bevisas det att en radikal S -endomorfism av ett schema X av finit typ över S är bijektiv (10.4.11), och att om X / S har ändlig presentation och endomorfismen är en monomorfism, så är den en automorfism (17.9.6). Därför är ett schema för ändlig presentation över en bas S ett cohopfian objekt i kategorin S -scheman.
Ax-Grothendieck-satsen kan också användas för att bevisa Edens trädgårdssats , ett resultat som likt Ax-Grothendieck-satsen relaterar injektivitet med surjektivitet men i cellulära automater snarare än i algebraiska fält. Även om direkta bevis för denna sats är kända, sträcker sig beviset via Ax-Grothendieck-satsen mer brett, till automater som verkar på mottagliga grupper .
Några partiella konversationer till Axe-Grothendieck-satsen:
- En generiskt surjektiv polynomkarta av n -dimensionellt affint utrymme över en ändligt genererad förlängning av Z eller Z / p Z [ t ] är bijektiv med en polynom invers rationell över samma ring (och därför bijektiv på affint utrymme för den algebraiska stängningen).
- En generiskt surjektiv rationell karta av n -dimensionell affin rymd över ett hilbertskt fält är generiskt bijektiv med en rationell invers definierad över samma fält. ("Hilbertianskt fält" definieras här som ett fält för vilket Hilberts Irreducibility Theorem gäller, såsom de rationella talen och funktionsfälten.)
externa länkar
- O'Connor, Michael (2008), Ax's Theorem: An Application of Logic to Ordinary Mathematics .