Antaget medelvärde

I statistiken är det antagna medelvärdet en metod för att beräkna det aritmetiska medelvärdet och standardavvikelsen för en datamängd. Det förenklar beräkningen av exakta värden för hand. Dess intresse idag är främst historiskt men det kan användas för att snabbt uppskatta denna statistik. Det finns andra snabba beräkningsmetoder som är mer lämpade för datorer som också säkerställer mer exakta resultat än de självklara metoderna.

Exempel

Först: Medelvärdet av följande tal söks:

219, 223, 226, 228, 231, 234, 235, 236, 240, 241, 244, 247, 249, 255, 262

Anta att vi börjar med en rimlig initial gissning att medelvärdet är cirka 240. Då är avvikelserna från detta "antagna" medelvärde följande:

−21, −17, −14, −12, −9, −6, −5, −4, 0, 1, 4, 7, 9, 15, 22

När man lägger ihop dessa finner man att:

22 och −21 avbryter nästan, lämnar +1,

15 och −17 nästan avbryter, lämnar −2,

9 och −9 avbryter,

7 + 4 avbryter −6 − 5,

och så vidare. Vi har en summa på −30. Genomsnittet av dessa 15 avvikelser från det antagna medelvärdet är därför −30/15 = −2 . Därför är det vad vi behöver lägga till det antagna medelvärdet för att få rätt medelvärde:

korrekt medelvärde = 240 − 2 = 238.

Metod

Metoden beror på att uppskatta medelvärdet och avrunda till ett enkelt värde att beräkna med. Detta värde subtraheras sedan från alla sampelvärden. När proverna klassificeras i lika stora intervall väljs en central klass och antalet intervall därifrån används i beräkningarna. Till exempel, för människors höjder kan ett värde på 1,75m användas som det antagna medelvärdet.

₀ För en datamängd med antaget medelvärde x anta:

$d_{i}=x_{i}-x_{0}\,$

$A=\summa _{i=1}^ {N}d_{i}\,$

$B=\summa _{i=1}^{N}d_{i}^{2}\,$

$D={\frac {A}{N}}\,$

Sedan

${\overline {x}}=x_{0}+D\,$

$\sigma ={\sqrt {\frac {B-ND ^{2}}{N}}}\,$

eller för ett exempel på standardavvikelse med Bessels korrigering :

$\sigma ={\sqrt {\frac {B-ND^{2}}{N-1}}}\,$

Exempel med klassintervall

Om det finns ett stort antal prover kan en snabb rimlig uppskattning av medelvärdet och standardavvikelsen fås genom att gruppera proverna i klasser med lika storleksintervall. Detta introducerar ett kvantiseringsfel men är normalt tillräckligt korrekt för de flesta ändamål om 10 eller fler klasser används.

Till exempel med undantag,

167.8 175.4 176.1 166 174.7 170.2 178.9 180.4 174.6 174.5 182.4 173.4 167.4 170.7 180.6 169.6 17.17.17.17. .2 180,2 180,3 164,7 167,9 179,6 164,9 173,2 180,3 168 175,5 172,9 182,2 166,7 172,4 181,9 175,6 181,9 175. 6 175,5 173,2 178,8 168,3 170,3 174,2 168 172,6 163,3 172,5 163,4 165,9 178,2 174,6 174,3 170,5 169,7 176,2 175,1 177 173,5 173,6 174,3 174,4 17. 166,5 159,6 170,5 174,7 182 172,7 175,9 171,5 167,1 176,9 181,7 170,7 177,5 170,9 178,1 174,3 179. 6 186,4 178,1 174 177,1 163,3 178,1 179,1 175,6

Minsta och högsta är 159,6 och 187,6 vi kan gruppera dem på följande sätt genom att avrunda siffrorna nedåt. Klassstorleken (CS) är 3. Det antagna medelvärdet är mitten av intervallet från 174 till 177 vilket är 175,5. Skillnaderna räknas i klasser.

Observerade siffror i intervall

Räckvidd	sammanräkning	frekvens	klassdiff	frekv×diff	freq×diff 2
159—161	/	1	−5	−5	25
162—164	//// _	6	−4	−24	96
165—167	//// ////	10	−3	−30	90
168—170	//// //// ///	13	−2	−26	52
171—173	//// //// //// /	16	−1	−16	16
174—176	//// //// //// //// ////	25	0	0	0
177—179	//// //// //// /	16	1	16	16
180—182	//// //// /	11	2	22	44
183—185		0	3	0	0
186—188	//	2	4	8	32
Belopp		N = 100		A = −55	B = 371

Medelvärdet uppskattas då till

$x_{0}+CS\times {\frac {A}{N}}=175,5+3\times -55/100= 173,85$

vilket är mycket nära det faktiska medelvärdet på 173.846.

Standardavvikelsen uppskattas till

$CS{\sqrt {\frac {B-{\frac {A^{2}}{N}}}{N-1}}}=5.57$