Anscombe transform

Standardavvikelsen för den transformerade slumpvariabeln Poisson som funktion av medelvärdet

m

.

Inom statistik är Anscombe -transformen , uppkallad efter Francis Anscombe , en variansstabiliserande transformation som omvandlar en slumpvariabel med Poisson-fördelning till en med en ungefärlig standard Gauss-fördelning . Anscombe-transformen används i stor utsträckning vid fotonbegränsad bildbehandling (astronomi, röntgen) där bilderna naturligt följer Poisson-lagen. Anscombe-transformen används vanligtvis för att förbearbeta data för att göra standardavvikelsen ungefär konstant. Sedan används denoising -algoritmer designade för ramverket av additivt vitt Gaussiskt brus ; den slutliga uppskattningen erhålls sedan genom att applicera en invers Anscombe-transformation på de nosade data.

Definition

För Poisson-fördelningen är medelvärdet $m$ och variansen $v$ inte oberoende: $m=v$ . Anscombe-förvandlingen

A:x\mapsto 2{\sqrt {x+{\tfrac {3}{8}}}}\,

syftar till att omvandla data så att variansen sätts till ungefär 1 för tillräckligt stort medelvärde; för medelnoll är variansen fortfarande noll.

Den omvandlar poissonska data $x$ (med medelvärde $m$ ) till ungefär Gaussiska data på medelvärde $2{\sqrt {m+{\tfrac {3}{8}}}}-{\tfrac {1}{4\,m^{1/2}}}+O\left({\tfrac {1}{ m^{3/2}}}\right)$ och standardavvikelse $1+O\left({\tfrac {1}{m^{2}}}\right)$ . Denna approximation blir mer exakt för större $m$ , vilket också kan ses i figuren.

För en transformerad variabel av formen $2{\sqrt {x+c}}$ har uttrycket för variansen ytterligare en term ${\frac {{\tfrac {3}{8}}-c}{m}}$ ; det reduceras till noll vid ${\displaystyle c={\tfrac {3}{8}}} ,$ vilket är exakt anledningen till att detta värde valdes.

Inversion

När Anscombe-transformen används i denoising (dvs när målet är att från ${\displaystyle x} erhålla$ en uppskattning av $m$ ), behövs dess inversa transformation också för att returnera den variansstabiliserade och denoiserade data $y$ till det ursprungliga intervallet. Tillämpa den algebraiska inversen

A^{-1}:y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\ frac {3}{8}}

vanligtvis introducerar oönskad förspänning till uppskattningen av medelvärdet $m$ , eftersom den framåtriktade kvadratrotstransformen inte är linjär . Använder ibland den asymptotiskt opartiska inversen

y\mapsto \left({\frac {y}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}

mildrar problemet med bias, men detta är inte fallet vid fotonbegränsad bildbehandling, för vilken den exakta opartiska inversen ges av den implicita kartläggningen

\operatörsnamn {E} \left[2{\sqrt { x+{\tfrac {3}{8}}}}\mid m\right]=2\summa _{x=0}^{+\infty }\left({\sqrt {x+{\tfrac {3}{ 8}}}}\cdot {\frac {m^{x}e^{-m}}{x!}}\right)\mapsto m

borde användas. En i sluten form av denna exakta opartiska invers är

y\mapsto {\frac {1}{4}}y^{2}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac { 3}{2}}}y^{-1}-{\frac {11}{8}}y^{-2}+{\frac {5}{8}}{\sqrt {\frac {3} {2}}}y^{-3}.

Alternativ

Det finns många andra möjliga variansstabiliserande transformationer för Poisson-fördelningen. Bar-Lev och Enis rapporterar en familj av sådana transformationer som inkluderar Anscombe-transformationen. En annan medlem av familjen är Freeman-Tukey-förvandlingen

A:x\mapsto {\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}.\,

En förenklad transformation, erhållen som primitiv för det reciproka av standardavvikelsen för data, är

A:x\mapsto 2{\sqrt {x}}\,

som, även om det inte är fullt så bra på att stabilisera variansen, har fördelen att det är lättare att förstå. Faktum är att från deltametoden ,

$V[2{\sqrt {x}}]\approx \left({\ frac {d(2{\sqrt {m}})}{dm}}\höger)^{2}V[x]=\left({\frac {1}{\sqrt {m}}}\höger) ^{2}m=1$ .

Generalisering

Medan Anscombe-transformen är lämplig för rena Poisson-data, presenterar data i många applikationer också en additiv Gaussisk komponent. Dessa fall behandlas av en generaliserad Anscombe-transform och dess asymptotiskt opartiska eller exakta opartiska inverser.

Se även

Vidare läsning

Starck, J.-L.; Murtagh, F. (2001), "Astronomisk bild- och signalbehandling: titta på brus, information och skala", Signal Processing Magazine, IEEE , vol. 18, nr. 2, s. 30–40, Bibcode : 2001ISPM...18...30S , doi : 10.1109/79.916319 , S2CID 13210703