Alfa centralitet

Inom grafteori och sociala nätverksanalyser är alfa-centralitet ett alternativt namn för Katz- centralitet . Det är ett mått på centraliteten för noder i en graf . Det är en anpassning av egenvektorcentralitet med tillägget att noder genomsyras av betydelse från externa källor.

Definition

Givet en graf med närliggande matris $A_{i,j}$ definieras Katz-centraliteten enligt följande:

${\vec {x}}=(I-\alpha A^{T})^{-1}{\vec {e} }-{\vec {e}}\,$

där $e_{j}$ är den externa betydelsen som ges till noden $j$ , och $\alpha$ är en icke-negativ dämpningsfaktor som måste vara mindre än inversen av spektralradien på $A$ . Den ursprungliga definitionen av Katz använde en konstant vektor ${\vec {e}}$ . Hubbell introducerade användningen av en allmän ${\vec {e}}$ .

Ett halvt sekel senare definierade Bonacich och Lloyd alfa-centralitet som

${\vec {x}}=(I-\alpha A^{T})^{-1}{\vec {e}}\,$

som i huvudsak är identisk med Katz centralitet. Mer exakt, poängen för en nod $j$ skiljer sig exakt med $e_{j}$ , så om ${\vec {e}}$ är konstant ordningen inducerad på noder är identiska.

Motivering

För att förstå alfacentralitet måste man först förstå egenvektorcentralitet . En intuitiv process för att beräkna egenvektors centralitet är att ge varje nod en slumpmässigt positiv inflytande. Varje nod delar sedan upp sitt inflytande jämnt och delar det mellan sina yttre grannar och tar emot från sina inre grannar in natura. Denna process upprepas tills alla ger ut lika mycket som de tar in och systemet har nått ett stabilt tillstånd. Mängden inflytande de har vid detta stationära tillstånd är deras egenvektorcentralitet. Beräkningsmässigt kallas denna process för effektmetoden . Vi vet att denna process har konvergerat när påverkans vektor endast ändras med en konstant enligt följande:

$x_{i}={\frac {1}{\lambda }}A_{i,j}^{T}x_{j}$

där $x_{i}$ är mängden inflytande som nod $i$ har, $A_{i,j}$ är närliggande matris och $\ lambda$ råkar vara det huvudsakliga egenvärdet.

Alfa-centralitet förbättrar denna process genom att tillåta noder att ha externa inflytandekällor. Mängden inflytande som nod $i$ får vid varje runda kodas i $e_{i}$ . Processen som beskrivs ovan bör nu stoppa när

$x_{i}=\alpha A_{i,j}^{T}x_{j}+e_{i}\,$

där $\alpha$ är en konstant som byter ut vikten av yttre påverkan mot vikten av anslutning. När ${\displaystyle \alpha =0} är det$ bara den yttre påverkan som har betydelse. När $\alpha$ är mycket stor är det bara anslutningen som spelar roll, dvs vi reducerar till egenvektorcentralitetsfallet.

Istället för att utföra den iteration som beskrivs ovan kan vi lösa detta system för $x$ och få följande ekvation:

$x=(I-\alpha A^{T})^{-1}e\,$

Ansökningar

Alfa-centralitet implementeras i igraph-biblioteket för nätverksanalys och visualisering.