Adjoint ekvation

En adjoint ekvation är en linjär differentialekvation , vanligtvis härledd från dess primalakvation med hjälp av integrering av delar . Gradientvärden med avseende på en viss mängd av intresse kan effektivt beräknas genom att lösa den adjointe ekvationen. Metoder baserade på lösning av angränsande ekvationer används i vingformsoptimering , vätskeflödeskontroll och osäkerhetskvantifiering . Till exempel $dX_{t}=a(X_{t})dt+b(X_{t})dW$ detta är en Itō stokastisk differentialekvation. Genom att använda Euler-schemat integrerar vi nu delarna av denna ekvation och får en annan ekvation, $X_{n+1}=X_{n}+a \Delta t+\zeta b{\sqrt {\Delta t}}$ , här är $\zeta$ en slumpvariabel, senare är en adjoint ekvation.

Exempel: Advection-Diffusion PDE

Betrakta följande linjära, skalära advektion-diffusionsekvation för den primära lösningen ${\displaystyle u({\vec {x}})} ,$ i domänen $\Omega$ med Dirichlets randvillkor :

{\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}

Låt utdata av intresse vara följande linjära funktion:

J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.

Härled den svaga formen genom att multiplicera primalakvationen med en viktningsfunktion $w({\vec {x}})$ och utföra integration med delar:

{\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}

var,

{\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV \\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\ Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integrering av delar)}}\\L(w)&= \int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}

Betrakta sedan en oändlig störning till $L(w)$ som ger en oändlig ändring i $u$ enligt följande:

{\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{ Justerat}}

Observera att lösningsstörningen $u'$ måste försvinna vid gränsen, eftersom Dirichlets gränsvillkor inte tillåter variationer på $\partial \Omega$ .

Använd den svaga formen ovan och definitionen av adjointen $\psi ({\vec {x}})$ som ges nedan:

{\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B (u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}

vi får:

{\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n} }dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}

Använd sedan integration av delar för att överföra derivator av $u'$ till derivator av $\psi$ :

{\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\ vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n} }dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega}\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _ {\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \ nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeterande integration av delar på diffusionsvolymterm)}}\\\int _{\Omega }u' \left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]dV+\int _{\partial \Omega }\ psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \ nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}

Den adjoint PDE och dess randvillkor kan härledas från den sista ekvationen ovan. Eftersom $u'$ i allmänhet inte är noll inom domänen $\Omega$ , krävs det att ${\displaystyle \left[-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)-g\right]} vara noll i Ω {\displaystyle$ \ $}$ , för att volymtermen ska försvinna. På liknande sätt, eftersom primalflödet $\left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}$ är i allmänhet icke-noll vid gränsen, vi kräver att $\psi$ är noll där för att den första gränstermen ska försvinna. Den andra gränstermen försvinner trivialt eftersom det primära gränsvillkoret kräver $u'=0$ vid gränsen.

Därför ges det angränsande problemet av:

{\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec { x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}

Observera att advektionstermen vänder om tecknet för konvektionshastigheten ${\vec {c}}$ i adjointekvationen, medan diffusionstermen förblir självadjoint.

Se även

Jameson, Antony (1988). "Aerodynamisk design via kontrollteori". Journal of Scientific Computing . 3 (3): 233–260. doi : 10.1007/BF01061285 . S2CID 7782485 .