Abbe sinus tillstånd

Ingångs- och utgångsvinklarna för varje stråle som passerar genom ett bildsystem (grå ruta) är relaterade. När avbildningssystemet följer Abbes sinusvillkor är förhållandet mellan sinusen för dessa vinklar lika med (lateral absolut) förstoring av systemet.

Abbe sinusvillkoret är ett villkor som måste uppfyllas av en lins eller annat optiskt system för att det ska kunna producera skarpa bilder av såväl off-axel- som on-axis-objekt. Den formulerades av Ernst Abbe i samband med mikroskop .

Abbe sinus-villkoret säger det

sinus för objekt-rumsvinkeln ${o}}$ _ bör vara proportionell mot sinus för bildrymdsvinkeln ${\textstyle \alpha _{i}}$

Dessutom är förhållandet lika med förstoringen av systemet. I matematiska termer är detta:

{\frac {\sin \alpha _{o}}{\sin \alpha _{i}}}={\frac {\sin \beta _{o}}{\sin \beta _{i} }}=|M|

där variablerna ${\textstyle (\alpha _{o},\beta _{o})}$ är vinklarna (relativt till den optiska axeln) för två valfria strålar när de lämnar objektet, och ${\textstyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ är vinklarna för samma strålar där de når bildplanet (säg filmplanet för en kamera). Till exempel, ( ${\textstyle \alpha _{o},\alpha _{i})}$ kan representera en paraxiell stråle (dvs en stråle nästan parallell med den optiska axeln) och ${\textstyle (\beta _{o},\beta _{i})}$ kan representera en marginell stråle (dvs en stråle med den största vinkeln som tillåts av systemöppningen). Ett optiskt bildsystem för vilket detta gäller för alla strålar sägs lyda Abbes sinusvillkor.

Förstoring och Abbes sinusvillkor

Ett optiskt bildsystem (grå ruta) som följer sinusvillkoret har ett fast förhållande mellan sinusen för strålvinklarna vid ingången och utgången av systemet

{\textstyle {\frac {\ sin \alpha _{o}}{\sin \alpha _{i}}}=M}

. Detta förhållande är lika med förstoringen (M).

Fourier-optikens ramverk kan vi enkelt förklara betydelsen av Abbes sinusvillkor. Säg att ett objekt i objektplanet för ett optiskt system har en transmittansfunktion av formen T ( x _o , y _o ). Vi kan uttrycka denna transmittansfunktion i termer av dess Fouriertransform som

T(x_{o},y_{o})=\iint T(k_{x},k_{y})~e^{j(k_{x}x_{o}+k_{y}y_ {o})}~dk_{x}\,dk_{y}.

Antag nu för enkelhetens skull att systemet inte har någon bildförvrängning , så att bildplanets koordinater är linjärt relaterade till objektplanets koordinater via relationen

x_{i}=Mx_{o}\,

y_{i}=My_{o}\,

där M är systemförstoringen . Objektplanets transmittans ovan kan nu skrivas om i en något modifierad form:

T(x_{o},y_{o})=\iint T(k_{x},k_{y})~e^{j\left((k_{x}/M)(Mx_{ o})+(k_{y}/M)(My_{o})\right)}~dk_{x}\,dk_{y}

där de olika termerna helt enkelt har multiplicerats och dividerats i exponenten med M , systemförstoringen. Nu kan ekvationerna ovan ersätta bildplanskoordinater i termer av objektplanskoordinater, för att erhålla,

T( x_{i},y_{i})=\iint T(k_{x},k_{y})~e^{j\left((k_{x}/M)x_{i}+(k_{y }/M)y_{i}\right)}~dk_{x}\,dk_{y}

Vid denna punkt kan en annan koordinattransformation föreslås ( d.v.s. Abbes sinusvillkor ) som relaterar objektplanets vågnummerspektrum till bildplanets vågnummerspektrum som

k_{x}^{i}={\frac {k_{x}}{M}}

k_{y}^{i }={\frac {k_{y}}{M}}

för att erhålla den slutliga ekvationen för bildplansfältet i termer av bildplanskoordinater och bildplansvågnummer som:

T(x_{i},y_{i})=M^{2}\iint T\left(Mk_{x}^{i},Mk_{y}^{i}\höger)~e^{j\ vänster(k_{x}^{i}x_{i}+k_{y}^{i}y_{i}\right)}dk_{x}^{i}\,dk_{y}^{i}

Från Fourieroptik är det känt att vågtalen kan uttryckas i termer av det sfäriska koordinatsystemet som

k_{x}=k\sin \theta \cos \varphi \,

k_{y}=k\ sin \theta \sin \varphi \,

Om en spektral komponent beaktas för vilken $\varphi =0$ , så tar koordinattransformationen mellan objektets och bildplanets vågnummer formen

k^{i}\sin \theta ^{i}=k{\frac {\sin \theta}{M}}.

Detta är ett annat sätt att skriva Abbe sinusvillkoret, som helt enkelt återspeglar den klassiska osäkerhetsprincipen för Fouriertransformpar, nämligen att när den rumsliga utsträckningen av en funktion expanderas (med förstoringsfaktorn, M ), drar den spektrala utsträckningen samman med samma faktor, M , så att rymdbandbreddsprodukten förblir konstant.

Se även