AH Lightstone

AH Lightstone i schack

Albert Harold Lightstone (1926–1976) var en kanadensisk matematiker. Han var en av pionjärerna inom icke-standardiserad analys , doktorand till Abraham Robinson , och senare medförfattare tillsammans med Robinson av boken Nonarchimedean Fields and Asymptotic Expansions .

Biografi

Lightstone tog sin doktorsexamen från University of Toronto 1955, under ledning av Abraham Robinson; hans avhandling hade titeln Contributions to the Theory of Quantification . Han var professor i matematik vid Carleton University och Queen's University .

Forskning

Decimal hyperreals

I sin artikel "Infinitesimals" i American Mathematical Monthly 1972 beskrev Lightstone en utökad decimalnotation för hyperrealerna . Här finns det en siffra vid varje hypernaturlig rangordning snarare än bara en siffra för varje rang som ges av ett naturligt tal. En sådan hyperreal decimal skrivs som

$a.a_{1}a_{2}\ldots ;\ldots a_{H-1}a_{H}a_{H+1}\ldots \,.$

Här visas siffran $a_{H}$ i rang $H$ , vilket är en typisk oändlig hypernatural. Semikolonet separerar siffrorna i ändliga led från siffrorna i oändliga led. Således motsvarar talet 0,000...;...01, med siffran "1" vid oändlig rang H , det oändliga $10^{-H}$ .

Skillnaden 1 - 0,000...;...01 är 0,999...;...9, med ett oändligt övernaturligt värde av siffror 9. En alternativ notation för den senare är

$0.\underbrace {999\ldots 9} _{H}\,$

där H är en oändlig hypernatural. Den utökade decimalnotationen ger en rigorös matematisk implementering av elevintuitioner av en infinitesimal av formen 0,000...01. Sådana studentintuitioner och deras användbarhet i inlärningen av infinitesimalkalkyl analyserades i en studie från 2010 av Robert Ely i Journal for Research in Mathematics Education .

Annan forskning

Lightstones huvudsakliga forskningsbidrag var i icke-standardiserad analys . Han skrev också uppsatser om vinkeltrisektion , matrisinversion och tillämpningar av gruppteori på formell logik .

Böcker

Lightstone var författare eller medförfattare till flera böcker om matematik:

• Den axiomatiska metoden: en introduktion till matematisk logik (Prentice Hall, 1964). Den här inledande läroboken är uppdelad i två delar, en ger en informell introduktion till boolesk logik och den andra använder formella metoder för att bevisa konsistensen och fullständigheten i predikatkalkylen . Den riktar sig till elever som redan har en viss förtrogenhet med abstrakt algebra , och ett av dess teman är en algebraisk syn på matematiska bevis inom logik.
• Concepts of Calculus (Harper och Row, 1965). Detta är en lärobok om beräkningen av reella funktioner för en enda variabel. Recensenten DR Dickinson skrev att den "innehåller mycket nytt och intressant material"; men han klagade också över dess pedantiska undvikande av variabler (att använda identitetsfunktioner i deras ställe), dess onödiga insisterande på att endast beakta funktioner vars derivata har samma domän som själva funktionen, och dess "tråkiga och långa diskussioner om elementära ämnen".
  • Concepts of Calculus, vol. 2 (Harper och Row, 1966)
  • Lösningar på övningarna för Concepts of Calculus (Harper och Row, 1966)
•   Fundamentals of Linear Algebra (Appleton-Century-Crofts, 1969, ISBN 0-390-56050-2 )
• Symbolisk logik och det verkliga talsystemet: en introduktion till grunderna för talsystem ( Harper och Row, 1965). Den här boken ger en kurs i konstruktionen av de reella talen baserat på formell logik . Dess mål är både att visa hur de reella talen kan utvecklas från enklare begrepp inom aritmetik, och att visa logikens inverkan på resten av matematiken. Förutom att täcka titelämnena innehåller den också ett långt avsnitt om axiomen för flera algebraiska strukturer: grupper , ringar , fält och booleska algebror . En egenhet är att, snarare än att axiomatisera de reella talen med hjälp av Dedekind-snitt eller Cauchy-sekvenser , baserar den sin axiomatisering på sekvenser av decimaltal.
• Nonarchimedean Fields and Asymptotic Expansions (med Abraham Robinson, North-Holland, 1975). 2016 pbk nytryck . Detta är en inledande lärobok som försöker göra materialet från Robinsons monografi från 1966 Non-Standard Analysis mer tillgängligt och att visa användbarheten av icke-standardiserad analys för att studera asymptotiska expansioner . Den baserades på ett första utkast av Robinson och avslutades postumt av Lightstone, som själv dog strax efter. Den börjar med en introduktion till icke-arkimediska fält med många användbara exempel, tar in de nödvändiga verktygen från matematisk logik inklusive ultrakrafter , ägnar två kapitel åt att beskriva hur man gör icke-standardiserade analyser med Levi-Civita-fältet , och avslutas med tre kapitel om asymptotiska expansioner.
•   Mathematical Logic: An Introduction to Model Theory (Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering, vol. 9, Plenum Press, 1978, ISBN 0-306-30894-0 ). Denna bok publicerades postumt, redigerad av Herbert Enderton . Den är organiserad i tre delar, en om propositionskalkylen , en andra del om formell semantik och en tredje del om tillämpningar av modellteori inklusive icke-standardiserad analys och mängdteori . Det kritiserades dock för den långsamma takten i dess första avsnitt och för dess övergripande brist på matematisk rigor.

Utmärkelser och utmärkelser

Queen's University delar årligen ut Albert Harold Lightstone-stipendiet, uppkallat efter Lightstone, till en student för fjärde året som utmärker grundutbildningen med huvudämne i matematik eller statistik. Stipendiet instiftades av Lightstones fru efter hans död.