Ömsesidig koherens (linjär algebra)

I linjär algebra definieras koherensen eller ömsesidig koherens för en matris A som det maximala absoluta värdet av korskorrelationerna mellan kolumnerna i A .

Formellt, låt $a_{1},\ldots ,a_{m}\in {\mathbb {C} }^{d}$ vara kolumnerna i matrisen A , som antas vara normaliserade så att $a_{i}^{H}a_{i}=1.$ Den ömsesidiga koherensen av A definieras då som

$M=\max _{1\leq i\neq j\leq m}\left|a_{i}^{H}a_{j}\right|.$

En nedre gräns är

$M\geq {\sqrt {\frac {md}{d(m-1)}}}$

En deterministisk matris där den ömsesidiga koherensen nästan möter den nedre gränsen kan konstrueras med Weils sats.

Detta koncept återinfördes av David Donoho och Michael Elad i samband med glesa representationer. Ett specialfall av denna definition för tvåortofallet förekom tidigare i tidningen av Donoho och Huo. Den ömsesidiga koherensen har sedan dess använts flitigt inom området glesa representationer av signaler . I synnerhet används det som ett mått på förmågan hos suboptimala algoritmer, såsom matchningssträvan och grundsträvan, att korrekt identifiera den sanna representationen av en gles signal. Joel Tropp introducerade en användbar förlängning av Mutual Coherence, känd som Babel-funktionen , som utökar idén om korskorrelation mellan par av kolumner till korskorrelationen från en kolumn till en uppsättning andra kolumner. Babel-funktionen för två kolumner är exakt den ömsesidiga koherensen, men den utökar också konceptet koherensrelation på ett sätt som är användbart och relevant för valfritt antal kolumner i den glesa representationsmatixen.

Se även

• Komprimerad avkänning
• Begränsad isometriegenskap
• Babel funktion

Vidare läsning

• Ömsesidig koherens
• R1magic : R-paket som ger ömsesidig koherensberäkning.